Kurs:Lineare Algebra/Teil I/45/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	4	2	1	6	3	3	2	7	6	1	4	8	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
3. Eine Linearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$, wobei ${}K$ ein Körper ist.
4. Eine rationale Funktion über einem Körper ${}K$.
5. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine affin unabhängige Familie von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
2. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit Rang und linearer Unabhängigkeit.
3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${}F\in K[X]$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Professor Knopfloch und Dr. Eisenbeis stehen am Ufer des Rubbenbruchsees und können sich nicht einigen, ob sie mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn drumrum laufen sollen. Deshalb läuft Professor Knopfloch gegen den Uhrzeigersinn und Dr. Eisenbeis mit dem Uhrzeigersinn. Das Verhältnis ihrer Geschwindigkeiten ist ${}5:4$, und daher läuft Knopfloch fünfmal um den See und Eisenbeis viermal um den See. Wie oft begegnen sie sich (Begegnung ganz am Anfang und am Ende mitzählen)?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}a\in K$  ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen ${}a^{n}$ man (ausgehend von ${}a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&-4y&+2z&+5w&=&12\\x&+5y&+7z&+w&=&1\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass man in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor ${}{\begin{pmatrix}198\\-15\\114\end{pmatrix}}$ als Linearkombination der beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix}}$ erhalten kann.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\mathrm {i} }z.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&5&0\\4&4&1\\0&0&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}y^{3}-2y+4$ die Variable ${}y$ durch den Term ${}x^{2}-5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto \pi x$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\varphi \colon K^{4}\longrightarrow K^{4}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es eine Basis des ${}K^{4}$ derart gibt, dass in der beschreibenden Matrix von ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis mindestens neun Einträge gleich ${}0$ sind (man darf verwenden, dass man bei der entsprechenden Aufgabe für den ${}K^{3}$ vier Nullen erreichen kann).

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}12x-5y+3z+w=2\,.$