Kurs:Lineare Algebra/Teil I/45/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	5	4	1	0	6	3	3	2	7	6	0	1	0	4	4	0	0	52

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
3. Eine Linearform auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$, wobei ${}K$ ein Körper ist.
4. Eine rationale Funktion über einem Körper ${}K$.
5. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine affin unabhängige Familie von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ in einem affinen Raum ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
2. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit Rang und linearer Unabhängigkeit.
3. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${}F\in K[X]$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$ ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen ${}a^{n}$ man (ausgehend von ${}a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&-4y&+2z&+5w&=&12\\x&+5y&+7z&+w&=&1\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\mathrm {i} }z.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&5&0\\4&4&1\\0&0&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}y^{3}-2y+4$ die Variable ${}y$ durch den Term ${}x^{2}-5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto \pi x$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}12x-5y+3z+w=2\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)