Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ die \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{,} also Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^2 }
{ = }{ e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {linearen Projektionen}{}{} \maabb {\varphi} {K} {K } {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$ und es sei \maabb {\varphi} { \R^2} { \R^2 } {} die Projektion von $\R^2$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix} }
{ \subseteq} { \R^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Lösungsraum zur linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y+6z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ = }{ \R \begin{pmatrix} 2 \\0\\ 5 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R^3 }
{ =} { L \oplus W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und beschreibe die Projektionen auf $L$ und auf $W$ bezüglich der Standardbasis.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Projektion}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass $\varphi$ bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ durch eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & 1& \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{\R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung }{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R^3 } {t} { (t,t^2,t^3) = (x,y,z) } {.} Skizziere die Bilder von $C$ unter den \definitionsverweis {Projektionen}{}{} auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Summe von zwei \definitionsverweis {linearen Projektionen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V } {} im Allgemeinen keine Projektion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vereinfache den Beweis zu Lemma 13.5 mit Hilfe der Dimensionsformel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} { }
ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} { }
ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des \definitionsverweis {Abbildungsraumes}{}{}
\mathl{\operatorname{ Abb}_{ } ^{ } { \left( V,W \right) }}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $W$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K , W \right) } } {W } { \varphi} { \varphi(1) } {,} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} von Vektorräumen ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei $\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }$ der $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} von \mathkor {} {V} {nach} {W} {} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {F} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } {W } { \varphi } { F(\varphi) := \varphi(v) } {,} $K$-linear ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Matrizenraum}{}{}
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (K)}{} und fixieren die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A }
{ = }{ \begin{pmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {\operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {M} { A \circ M } {,} \definitionsverweis {linear}{}{} ist. }{Beschreibe die Matrix zu $\varphi$ bezüglich einer geeignet gewählten Basis. }{Bestimme \definitionsverweis {Kern}{}{} und \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Endomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{End}_{ } { \left( K^2 \right) } }
{ = }{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K^2 , K^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( K^2 \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( K^2 \right) } } { \varphi } { \varphi \circ \varphi } {,} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass die ersten $n^2+1$ Potenzen\zusatzfussnote {Wir werden später eine deutlich stärkere Aussage kennenlernen} {.} {}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{i = 0 , \ldots , n^2} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} in $\operatorname{Mat}_{ n } (K)$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( U , W \right) } } {f} { f \circ \varphi } {.} } {Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {W} {T } {} mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , T \right) } } {f} { \psi \circ f } {.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere Lemma 13.8 mit Matrizen bezüglich gegebener Basen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper, \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine lineare Abbildung.

a) Zeige: $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung \maabbdisp {\psi} { W } { V } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi }
{ =} { \operatorname{Id}_{ W } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

b) Es sei nun $\varphi$ surjektiv, es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { { \left\{ \psi:W \rightarrow V \mid \psi \text{ linear} , \, \varphi \circ \psi = \operatorname{Id}_{ W } \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_0 }
{ \in }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen \mathkor {} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , \operatorname{kern} \varphi \right) }} {und} {S} {,} unter der $0$ auf $\psi_0$ abgebildet wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{End}_{ } \, (V) }
{ =} { { \left\{ \varphi: V \rightarrow V \mid \varphi \text{ linear} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Addition und der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von Abbildungen ein \definitionsverweis {Ring}{}{} ist.

}
{} {} Den Ring der vorstehenden Aufgabe nennt man \stichwort {Endomorphismenring} {} zu $V$.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {g} { V } { V } {} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\Psi_g} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } { f } { gfg^{-1} } {,} ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_g(f_1 \circ f_2) }
{ =} { \Psi_g(f_1 ) \circ \Psi_g (f_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_g( \operatorname{Id}_{ V } ) }
{ =} { \operatorname{Id}_{ V } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des Raumes der \definitionsverweis {Endomorphismen}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_i) }
{ \in} { K v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i$. Wie sehen die Matrizen zu einem solchen $\varphi$ bezüglich dieser Basis aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ = }{ \begin{pmatrix} 8 \\7\\ 4 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ \begin{pmatrix} 6 \\3\\ 9 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im $\R^3$. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} des \definitionsverweis {Vektorraumes}{}{,} der aus allen \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} { \R^2 } {} besteht, die $u$ auf die $x$-Achse und $v$ auf die $y$-Achse abbilden. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ \R \begin{pmatrix} -9 \\8\\ 3 \end{pmatrix} }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( \R^3, \R^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge der \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{,} die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige, dass $M$ kein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des \definitionsverweis {Homomorphismenraumes}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und es seien \maabbdisp {\varphi, \psi} { V } { V } {} \definitionsverweis {Automorphismen}{}{} derart, dass für jeden \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(U) }
{ = }{ \psi(U) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ a \psi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$ und es sei \maabb {\varphi} { \R^2 } { \R^2 } {} die Projektion von $\R^2$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R \begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix} }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (1+4)}
{

a) Zeige, dass die $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 \pm \sqrt{1-4bc} }{ 2 } } & b \\ c & { \frac{ 1 \mp \sqrt{1-4bc} }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {Projektionen}{}{} beschreiben. Dabei sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b,c }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass eine Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{1-4bc}}{} existiert.

b) Bestimme sämtliche
\mathl{2 \times 2}{-}Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { , }
die eine Projektion beschreiben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_1 , \ldots , \varphi_k }
{ \in }{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, { \left( \varphi_1 + \cdots + \varphi_k \right) } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^k \operatorname{rang} \, \varphi_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{G_1, G_2}{} und
\mathl{H_1, H_2}{} jeweils verschiedene Geraden im $K^3$. Welche \definitionsverweis {Dimension}{}{} hat der Raum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W }
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K^3 , K^3 \right) } \mid \varphi(G_1) \subseteq H_1 \text{ und } \varphi(G_2) \subseteq H_2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{

Im $\R^3$ seien die Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ = }{ \begin{pmatrix} 6 \\9\\ -2 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ \begin{pmatrix} 4 \\-4\\ 7 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Wir betrachten den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq} { \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( \R^3 , \R^3 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} der aus allen \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} $\varphi$ besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (u) }
{ \in }{ \langle \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\0\\ 5 \end{pmatrix} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (v) }
{ \in }{ \langle \begin{pmatrix} 6 \\-5\\ 4 \end{pmatrix} \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $U$. }{Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter \definitionsverweis {Basen}{}{} durch lineare Gleichungen. }{Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis. }

}
{} {}