Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 13

From Wikiversity
Jump to navigation Jump to search



Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme für einen Körper die idempotenten Elemente, also Elemente mit . Bestimme die linearen Projektionen .




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Wir betrachten die Basis

im und es sei die Projektion von auf bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe

Es sei der Lösungsraum zur linearen Gleichung

und . Zeige

und beschreibe die Projektionen auf und auf bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe

Es sei eine lineare Projektion auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige, dass bezüglich einer geeigneten Basis von durch eine Matrix der Form

beschrieben wird.


Aufgabe

Es sei das Bild der Abbildung

Skizziere die Bilder von unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.


Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei linearen Projektionen

im Allgemeinen keine Projektion ist.


Aufgabe

Vereinfache den Beweis zu Lemma 13.5 mit Hilfe der Dimensionsformel.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass der Homomorphismenraum

ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass der Homomorphismenraum

ein -Untervektorraum des Abbildungsraumes ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum über dem Körper . Zeige, dass die Abbildung

ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei der -Vektorraum der linearen Abbildungen von nach und es sei ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


Aufgabe

Wir betrachten den Matrizenraum und fixieren die Matrix .

  1. Zeige, dass die Abbildung

    linear ist.

  2. Beschreibe die Matrix zu bezüglich einer geeignet gewählten Basis.
  3. Bestimme Kern und Bild von .


Aufgabe

Wir betrachten den Endomorphismenraum . Ist die Abbildung

eine lineare Abbildung?


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zeige, dass die ersten Potenzen[1]

linear abhängig in sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Eine lineare Abbildung

    mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung

  2. Eine lineare Abbildung

    mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung


Aufgabe

Formuliere Lemma 13.8 mit Matrizen bezüglich gegebener Basen.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, und seien endlichdimensionale -Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

mit

gibt.

b) Es sei nun surjektiv, es sei

und es sei fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen und , unter der auf abgebildet wird.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.

Den Ring der vorstehenden Aufgabe nennt man Endomorphismenring zu .

Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und

ein Isomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus

und

gilt.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und eine Basis von . Bestimme die Dimension des Raumes der Endomorphismen

mit

für alle . Wie sehen die Matrizen zu einem solchen bezüglich dieser Basis aus?


Aufgabe

Wir betrachten die Vektoren und im . Bestimme die Dimension des Vektorraumes, der aus allen linearen Abbildungen

besteht, die auf die -Achse und auf die -Achse abbilden. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen.


Aufgabe

Wir betrachten die Gerade . Es sei die Menge der linearen Abbildungen, die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige, dass kein Untervektorraum des Homomorphismenraumes ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum und es seien

Automorphismen derart, dass für jeden Untervektorraum die Gleichheit gilt. Zeige, dass mit einem ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Basis

im und es sei die Projektion von auf bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

a) Zeige, dass die -Matrizen

Projektionen beschreiben. Dabei sind derart, dass eine Quadratwurzel existiert.

b) Bestimme sämtliche -Matrizen

die eine Projektion beschreiben.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und . Zeige


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und jeweils verschiedene Geraden im . Welche Dimension hat der Raum


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Im seien die Vektoren und gegeben. Wir betrachten den Untervektorraum

der aus allen linearen Abbildungen besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

a) .


b) .

  1. Bestimme die Dimension von .
  2. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch lineare Gleichungen.
  3. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis.




Fußnoten
  1. Wir werden später eine deutlich stärkere Aussage kennenlernen.


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)