Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme für einen Körper $K$ die idempotenten Elemente, also Elemente  $e\in K$  mit  $e^2=e$.  Bestimme die linearen Projektionen $\phi :K\to K$.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Wir betrachten die Basis

$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$

im ${ℝ}^2$ und es sei $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die Projektion von ${ℝ}^2$ auf

$ℝ\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)\subseteq {ℝ}^2$

bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\phi$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe

Es sei  $L\subseteq {ℝ}^3$  der Lösungsraum zur linearen Gleichung

$3x+4y+6z=0$

und  $W=ℝ\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$.  Zeige

${ℝ}^3=L\oplus W$

und beschreibe die Projektionen auf $L$ und auf $W$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Projektion auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Zeige, dass $\phi$ bezüglich einer geeigneten Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$ durch eine Matrix der Form

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& \ddots & 1& \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0& \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& 0\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Aufgabe

Es sei  $C\subseteq {ℝ}^3$  das Bild der Abbildung

$ℝ⟶{ℝ}^3,t⟼(t,t^2,t^3)=(x,y,z).$

Skizziere die Bilder von $C$ unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei linearen Projektionen

$\phi ,\psi :V⟶V$

im Allgemeinen keine Projektion ist.

Aufgabe

Vereinfache den Beweis zu Lemma 13.5 mit Hilfe der Dimensionsformel.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass der Homomorphismenraum

${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$

ein $K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass der Homomorphismenraum

${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$

ein $K$-Untervektorraum des Abbildungsraumes ${\mathrm{Abb}}_{}^{}(V,W)$ ist.

Aufgabe

Es sei $W$ ein $K$-Vektorraum über dem Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung

${\mathrm{Hom}}_K(K,W)⟶W,\phi ⟼\phi (1),$

ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ der $K$-Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ und es sei  $v\in V$  ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

$F:{\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶W,\phi ⟼F(\phi ):=\phi (v),$

$K$-linear ist.

Aufgabe

Wir betrachten den Matrizenraum ${\mathrm{Mat}}_2(K)$ und fixieren die Matrix  $A=\left(\begin{array}{cc}9& -8\\ -7& 6\end{array}\right)$. 

1. Zeige, dass die Abbildung

   $\phi :{\mathrm{Mat}}_2(K)⟶{\mathrm{Mat}}_2(K),M⟼A\circ M,$

   linear ist.

2. Beschreibe die Matrix zu $\phi$ bezüglich einer geeignet gewählten Basis.
3. Bestimme Kern und Bild von $\phi$.

Aufgabe

Wir betrachten den Endomorphismenraum  ${\mathrm{End}}_{}\left(K^2\right)={\mathrm{Hom}}_K(K^2,K^2)$.  Ist die Abbildung

${\mathrm{End}}_{}\left(K^2\right)⟶{\mathrm{End}}_{}\left(K^2\right),\phi ⟼\phi \circ \phi ,$

eine lineare Abbildung?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zeige, dass die ersten $n^2+1$ Potenzen

$M^i,i=0,\dots ,n^2,$

linear abhängig in ${\mathrm{Mat}}_n(K)$ sind.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Eine lineare Abbildung

   $\phi :U⟶V$

   mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung

   ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_K(U,W),f⟼f\circ \phi .$

2. Eine lineare Abbildung

   $\psi :W⟶T$

   mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung

   ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,T),f⟼\psi \circ f.$

Aufgabe

Formuliere Lemma 13.8 mit Matrizen bezüglich gegebener Basen.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: $\phi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

$\psi :W⟶V$

mit

$\phi \circ \psi ={\mathrm{Id}}_W$

gibt.

b) Es sei nun $\phi$ surjektiv, es sei

$S=\{\psi :W\to V\mid \psi \text{ linear},\phi \circ \psi ={\mathrm{Id}}_W\}$

und es sei  ${\psi }_0\in S$  fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen ${\mathrm{Hom}}_K(W,\mathrm{kern}\phi )$ und $S$, unter der $0$ auf ${\psi }_0$ abgebildet wird.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass

${\mathrm{End}}_{}(V)=\{\phi :V\to V\mid \phi \text{ linear}\}$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Abbildungen ein Ring ist.

Den Ring der vorstehenden Aufgabe nennt man Endomorphismenring zu $V$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und

$g:V⟶V$

ein Isomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

${\Psi }_g:{\mathrm{End}}_{}\left(V\right)⟶{\mathrm{End}}_{}\left(V\right),f⟼gf{g}^{-1},$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus

${\Psi }_g(f_1\circ f_2)={\Psi }_g(f_1)\circ {\Psi }_g(f_2)$

und

${\Psi }_g({\mathrm{Id}}_V)={\mathrm{Id}}_V$

gilt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$. Bestimme die Dimension des Raumes der Endomorphismen

$\phi :V⟶V$

mit

$\phi (v_i)\in K{v}_i$

für alle $i$. Wie sehen die Matrizen zu einem solchen $\phi$ bezüglich dieser Basis aus?

Aufgabe

Wir betrachten die Vektoren  $u=\left(\begin{array}{c}8\\ 7\\ 4\end{array}\right)$  und  $v=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 9\end{array}\right)$  im ${ℝ}^3$. Bestimme die Dimension des Vektorraumes, der aus allen linearen Abbildungen

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^2$

besteht, die $u$ auf die $x$-Achse und $v$ auf die $y$-Achse abbilden. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen.

Aufgabe

Wir betrachten die Gerade  $G=ℝ\left(\begin{array}{c}-9\\ 8\\ 3\end{array}\right)\subseteq {ℝ}^3$.  Es sei  $M\subseteq {\mathrm{Hom}}_{ℝ}({ℝ}^3,{ℝ}^2)$  die Menge der linearen Abbildungen, die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige, dass $M$ kein Untervektorraum des Homomorphismenraumes ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und es seien

$\phi ,\psi :V⟶V$

Automorphismen derart, dass für jeden Untervektorraum  $U\subseteq V$  die Gleichheit  $\phi (U)=\psi (U)$  gilt. Zeige, dass  $\phi =a\psi$  mit einem  $a\in K$  ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Basis

$\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ -9\end{array}\right)$

im ${ℝ}^2$ und es sei $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die Projektion von ${ℝ}^2$ auf  $ℝ\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)\subseteq {ℝ}^2$  bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\phi$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

a) Zeige, dass die $2\times 2$-Matrizen

$\left(\begin{array}{cc}\frac{1\pm \sqrt{1-4bc}}{2}& b\\ c& \frac{1\mp \sqrt{1-4bc}}{2}\end{array}\right)$

Projektionen beschreiben. Dabei sind  $b,c\in K$  derart, dass eine Quadratwurzel $\sqrt{1-4bc}$ existiert.

b) Bestimme sämtliche $2\times 2$-Matrizen

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$

die eine Projektion beschreiben.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und  ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_k\in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)$.  Zeige

$\mathrm{rang}({\phi }_1+\cdots +{\phi }_k)\le \sum _{i=1}^k\mathrm{rang}{\phi }_i.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $G_1,G_2$ und $H_1,H_2$ jeweils verschiedene Geraden im $K^3$. Welche Dimension hat der Raum

$W=\{\phi \in {\mathrm{Hom}}_K(K^3,K^3)\mid \phi (G_1)\subseteq H_1\text{ und }\phi (G_2)\subseteq H_2\}?$

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Im ${ℝ}^3$ seien die Vektoren  $u=\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -2\end{array}\right)$  und  $v=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ 7\end{array}\right)$  gegeben. Wir betrachten den Untervektorraum

$U\subseteq {\mathrm{Hom}}_{ℝ}({ℝ}^3,{ℝ}^3),$

der aus allen linearen Abbildungen $\phi$ besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:

a)  $\phi (u)\in ⟨\left(\begin{array}{c}2\\ 8\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 5\end{array}\right)⟩$. 

b)  $\phi (v)\in ⟨\left(\begin{array}{c}6\\ -5\\ 4\end{array}\right)⟩$. 

1. Bestimme die Dimension von $U$.
2. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch lineare Gleichungen.
3. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis.

Fußnoten