Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 13

Projektionen

Zu einer direkten Summenzerlegung $V = U_{1} \oplus U_{2}$ einen $K$ -Vektorraumes $V$ nennt man die lineare Abbildung

p_{1} : V ⟶ U_{1}, v_{1} + v_{2} ⟼ v_{1},

die erste Projektion (oder Projektion auf $U_{1}$ bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf $U_{1}$ längs $U_{2}$ ) und entsprechend

p_{2} : V ⟶ U_{2}, v_{1} + v_{2} ⟼ v_{2},

die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die $U_{1}$ und $U_{2}$ Untervektorräume von $V$ sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung

V \overset{p_{1}}{⟶} U_{1} ⟶ V

ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor.

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $U \subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung

φ : V ⟶ V

heißt Projektion von $V$ auf $U$ , wenn $U = bild φ$ und $φ |_{U} = {Id}_{U}$ ist.

Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum und $v_{i}$ , $i \in I$ , eine Basis von $V$ . Zu einer Teilmenge $J \subseteq I$ sei

V_{J} = ⟨ v_{i}, i \in J ⟩

der zu $J$ gehörende Untervektorraum und

p_{J} : V ⟶ V, \sum_{i \in I} a_{i} v_{i} ⟼ \sum_{i \in J} a_{i} v_{i},

die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist $V_{J}$ und man kann die Abbildung auch als

p_{J} : V ⟶ V_{J}

auffassen. Auf $V_{J}$ liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist

kern p_{J} = ⟨ v_{i}, i \notin J ⟩ .

Für den $ℝ^{3}$ , versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel 13.2 betrachtet man die zweielementigen Teilmengen $J \subset {1, 2, 3}$ ) drei verschiedene Projektionen^[1] auf die Koordinatenebenen. Man nennt

p_{{1, 2}} : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}, (a, b, c) ⟼ (a, b, 0),

die Projektion auf die Grundebene,

p_{{1, 3}} : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}, (a, b, c) ⟼ (a, 0, c),

die Projektion auf die Aufebene,

p_{{2, 3}} : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}, (a, b, c) ⟼ (0, b, c),

die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im $ℝ^{3}$ unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.

Zu den einelementigen Teilmengen ${j} \subseteq {1, 2, 3}$ gehören die Projektionen auf die Achsen.

Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

φ : V ⟶ V

heißt Projektion, wenn

φ^{2} = φ

gilt.

Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum.

Zu einer direkten Zerlegung

$V = U \oplus U^{'}$

ist die Projektion auf $U$ eine Projektion im Sinne von Definition 13.4. Eine solche Projektion

$φ : V ⟶ V$

führt umgekehrt zu einer Zerlegung

$V = kern φ \oplus bild φ,$

und $φ$ ist die Projektion auf $bild φ$ .

Beweis

Es sei $π_{U}$ die Projektion auf $U$ . Für $v = u + u^{'}$ mit $u \in U, u^{'} \in U^{'}$ gilt dann

π_{U} (π_{U} (u + u^{'})) = π_{U} (u) = u = π_{U} (u + u^{'}),

also ist

π_{U}^{2} = π_{U} .

Es sei umgekehrt

φ : V ⟶ V

eine Endomorphismus mit

φ^{2} = φ .

Es sei $x \in kern φ \cap bild φ$ . Dann gibt es insbesondere ein $y \in V$ mit

φ (y) = x .

Dann ist

x = φ (y) = φ (φ (y)) = φ (x) = 0,

d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges $v \in V$ schreiben wir

v = φ (v) + (v - φ (v)) .

Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen

φ (v - φ (v)) = φ (v) - φ (φ (v)) = φ (v) - φ (v) = 0

gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.

◻

Homomorphismenräume

Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Dann nennt man

{Hom}_{K} (V, W) = {f : V \to W ∣ f lineare Abbildung}

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

(f + g) (v) := f (v) + g (v)

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

(λ f) (v) := λ \cdot f (v)

definiert wird.

Nach Aufgabe 13.8 handelt es sich in der Tat um einen $K$ -Vektorraum.

Beispiel

Es sei $W$ ein $K$ -Vektorraum über dem Körper $K$ . Dann ist die Abbildung

{Hom}_{K} (K, W) ⟶ W, φ ⟼ φ (1),

ein Isomorphismus von Vektorräumen, siehe Aufgabe 13.10.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Eine lineare Abbildung
$φ : U ⟶ V$

mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung

${Hom}_{K} (V, W) ⟶ {Hom}_{K} (U, W), f ⟼ f \circ φ .$

Eine lineare Abbildung
$ψ : W ⟶ T$

mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung

${Hom}_{K} (V, W) ⟶ {Hom}_{K} (V, T), f ⟼ ψ \circ f .$

Beweis

Siehe Aufgabe 13.15.

◻

Lemma

Es sei $V$ ein $K$ -Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

V = U_{1} \oplus U_{2} .

Es sei $W$ ein weiterer $K$ -Vektorraum und es seien

φ_{1} : U_{1} ⟶ W

und

φ_{2} : U_{2} ⟶ W

lineare Abbildungen.

Dann ist durch

$φ (v) := φ_{1} (v_{1}) + φ_{2} (v_{2}),$

wobei $v = v_{1} + v_{2}$ die direkte Zerlegung ist, eine lineare Abbildung

$φ : V ⟶ W$

gegeben.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung $v = v_{1} + v_{2}$ mit $v_{1} \in U_{1}$ und $v_{2} \in U_{2}$ eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus

\begin{matrix} φ (a v + b v^{'}) & = φ_{1} ((a v + b v^{'})_{1}) + φ_{2} ((a v + b v^{'})_{2}) \\ = φ_{1} (a v_{1} + b v'_{1}) + φ_{2} (a v_{2} + b v'_{2}) \\ = a φ_{1} (v_{1}) + b φ_{1} (v'_{1}) + a φ_{2} (v_{2}) + b φ_{2} (v'_{2}) \\ = a φ_{1} (v_{1}) + a φ_{2} (v_{2}) + b φ_{1} (v'_{1}) + b φ_{2} (v'_{2}) \\ = a φ (v) + b φ (v^{'}) . \end{matrix}

◻

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es seien

V = V_{1} \oplus \dots \oplus V_{n}

und

W = W_{1} \oplus \dots \oplus W_{m}

direkte Summenzerlegungen und es seien

p_{j} : W ⟶ W_{j}

die kanonischen Projektionen.

Dann ist die Abbildung

${Hom}_{K} (V, W) ⟶ \prod_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} {Hom}_{K} (V_{i}, W_{j}), f ⟼ p_{j} \circ (f |_{V_{i}}),$

ein Isomorphismus.

Wenn man die ${Hom}_{K} (V_{i}, W_{j})$ als Untervektorräume von ${Hom}_{K} (V, W)$ auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung

{Hom}_{K} (V, W) ≅ ⨁_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} {Hom}_{K} (V_{i}, W_{j}) .

vor.

Beweis

Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Lemma 13.8. Zum Nachweis der Injektivität sei $f \in {Hom}_{K} (V, W)$ mit $f \neq 0$ gegeben. Dann gibt es ein $v \in V$ mit

f (v) \neq 0 .

Sei $v = v_{1} + \dots + v_{n}$ mit $v_{i} \in V_{i}$ . Dann ist auch $f (v_{i}) \neq 0$ für ein $i$ . Dann ist auch $(f (v_{i}))_{j} \neq 0$ für ein $j$ und damit ist

f_{i j} = p_{j} \circ (f |_{V_{i}}) \neq 0 .

Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen $f_{i j} \in {Hom}_{K} (V_{i}, W_{j}), 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m$ , gegeben, die wir als Abbildungen nach $W$ auffassen. Dann sind die

f_{i} = \sum_{j = 1}^{m} f_{i j}

lineare Abbildungen von $V_{i}$ nach $W$ . Dies ergibt nach Lemma 13.9 eine lineare Abbildung $\sum_{i = 1}^{n} f_{i}$ von $V$ nach $W$ , die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.

◻

Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume. Es sei $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{m}$ eine Basis von $W$ .

Dann ist die Zuordnung

${Hom}_{K} (V, W) ⟶ {Mat}_{m \times n} (K), f ⟼ M_{𝔴}^{𝔳} (f),$

ein Isomorphismus von $K$ -Vektorräumen.

Beweis

Die Bijektivität wurde in Satz 10.15 gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

{(M_{𝔴}^{𝔳} (f + g))}_{i j} = ((f + g) (v_{j}))_{i} = (f (v_{j}) + g (v_{j}))_{i} = f (v_{j})_{i} + g (v_{j})_{i} = {(M_{𝔴}^{𝔳} (f))}_{i j} + {(M_{𝔴}^{𝔳} (g))}_{i j},

wobei der Index $i$ die $i$ -te Komponente bezüglich der Basis $𝔴$ bezeichnet.

◻

Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume $K v_{i}$ bzw. $K w_{j}$ betrachten und Lemma 13.10 anwenden.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume mit den Dimensionen $n$ bzw. $m$ .

Dann ist

$\dim_{K} ({Hom}_{K} (V, W)) = n m .$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 13.11.

◻

Untervektorräume von Homomorphismenräumen

Lemma

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem Körper $K$ . Dann sind die folgenden Teilmengen Untervektorräume von ${Hom}_{K} (V, W)$ .

Zu einem Untervektorraum $U \subseteq V$ ist
$S = {φ \in {Hom}_{K} (V, W) ∣ φ |_{U} = 0}$

ein Untervektorraum von ${Hom}_{K} (V, W)$ . Wenn $V$ und $W$ endlichdimensional sind, so ist

$\dim_{K} (S) = (\dim_{K} (V) - \dim_{K} (U)) \dim_{K} (W) .$

Zu einem Untervektorraum $U \subseteq W$ ist
$T = {φ \in {Hom}_{K} (V, W) ∣ bild φ \subseteq U}$

ein Untervektorraum von ${Hom}_{K} (V, W)$ , der zu ${Hom}_{K} (V, U)$ isomorph ist. Wenn $V$ und $W$ endlichdimensional sind, so ist

$\dim_{K} (T) = \dim_{K} (V) \cdot \dim_{K} (U) .$

Zu Untervektorräumen $V_{1} \subseteq V$ und $W_{1} \subseteq W$ ist
$H = {φ \in {Hom}_{K} (V, W) ∣ φ (V_{1}) \subseteq W_{1}}$

ein Untervektorraum von ${Hom}_{K} (V, W)$ . Wenn $V$ und $W$ endlichdimensional sind, so ist

$\dim_{K} (H) = \dim_{K} (V_{1}) \dim_{K} (W_{1}) + (\dim_{K} (V) - \dim_{K} (V_{1})) \dim_{K} (W) .$

Zu Untervektorräumen $V_{1}, \dots, V_{n} \subseteq V$ und $W_{1}, \dots, W_{n} \subseteq W$ ist
$\begin{matrix} L & = {φ \in {Hom}_{K} (V, W) ∣ φ (V_{1}) \subseteq W_{1} und φ (V_{2}) \subseteq W_{2} und \dots und φ (V_{n}) \subseteq W_{n}} \end{matrix}$
ein Untervektorraum von ${Hom}_{K} (V, W)$ .

Beweis

(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei $U^{'}$ ein direktes Komplement zu $U$ in $V$ , also

V = U \oplus U^{'} .

Es sei $u_{1}, \dots, u_{r}$ eine Basis von $U^{'}$ . Jede lineare Abbildung aus $S$ bildet $U$ auf $0$ ab, und auf $U^{'}$ bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist

S ≅ {Hom}_{K} (U^{'}, W)

und die Dimensionsaussage folgt aus Korollar 13.12.

(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung

{Hom}_{K} (V, U) ⟶ {Hom}_{K} (V, W)

von Lemma 13.8 (2) ist in diesem Fall injektiv und daher ist

T ≅ {Hom}_{K} (V, U) .

(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei

V = V_{1} \oplus V_{2}

eine direkte Summenzerlegung. Nach Lemma 13.10 ist

{Hom}_{K} (V, W) = {Hom}_{K} (V_{1}, W) \oplus {Hom}_{K} (V_{2}, W)

und es ist

H = {Hom}_{K} (V_{1}, W_{1}) \oplus {Hom}_{K} (V_{2}, W) .

Daher ist die Dimension gleich

\begin{matrix} \dim_{K} (V_{1}) \cdot \dim_{K} (W_{1}) + \dim_{K} (V_{2}) \cdot \dim_{K} (W) & = \dim_{K} (V_{1}) \dim_{K} (W_{1}) + (\dim_{K} (V) - \dim_{K} (V_{1})) \dim_{K} (W) . \end{matrix}

(4). Mit

L_{i} = {φ \in {Hom}_{K} (V, W) ∣ φ (V_{i}) \subseteq W_{i}}

ist $L = ⋂_{i = 1}^{k} L_{i}$ . Daher folgt (4) aus (3).

◻

Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume. Wir betrachten die natürliche Abbildung

Ψ : V \times {Hom}_{K} (V, W) ⟶ W, (v, φ) ⟼ φ (v),

wobei links der Produktraum steht. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear. Es ist zwar einerseits

φ (v_{1} + v_{2}) = φ (v_{1}) + φ (v_{2})

und andererseits

(φ_{1} + φ_{2}) (v) = φ_{1} (v) + φ_{2} (v),

wenn man also eine Komponente festhält, so gilt Additivität (und ebenso Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation) in der anderen Komponente. Im Produktraum gilt

(v_{1}, φ_{1}) + (v_{2}, φ_{2}) = (v_{1} + v_{2}, φ_{1} + φ_{2})

und somit ist

\begin{matrix} Ψ ((v_{1}, φ_{1}) + (v_{2}, φ_{2})) & = Ψ ((v_{1} + v_{2}, φ_{1} + φ_{2})) \\ = (φ_{1} + φ_{2}) (v_{1} + v_{2}) \\ = φ_{1} (v_{1} + v_{2}) + φ_{2} (v_{1} + v_{2}) \\ = φ_{1} (v_{1}) + φ_{1} (v_{2}) + φ_{2} (v_{1}) + φ_{2} (v_{2}) \\ \neq φ_{1} (v_{1}) + φ_{2} (v_{2}) \\ = Ψ ((v_{1}, φ_{1})) + Ψ ((v_{2}, φ_{2})) \end{matrix}

(nur in Ausnahmefällen ist $φ_{1} (v_{2}) + φ_{2} (v_{1}) = 0$ ).

Fußnoten

↑ Diese Projektionen sind sogar sogenannte orthogonale Projektionen. Davon kann man nur sprechen, wenn man ein Skalarprodukt zur Verfügung hat, was wir im zweiten Semester behandeln werden. Hier liegen einfach nur lineare Projektionen vor, die, anders als im orthogonalen Fall, wesentlich vom gewählten direkten Komplement abhängen.

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[1] Diese Projektionen sind sogar sogenannte orthogonale Projektionen. Davon kann man nur sprechen, wenn man ein Skalarprodukt zur Verfügung hat, was wir im zweiten Semester behandeln werden. Hier liegen einfach nur lineare Projektionen vor, die, anders als im orthogonalen Fall, wesentlich vom gewählten direkten Komplement abhängen.

[1]