Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 13

Projektionen

Zu einer direkten Summenzerlegung ${}V=U_{1}\oplus U_{2}$ einen ${}K$- Vektorraumes ${}V$ nennt man die lineare Abbildung

$p_{1}\colon V\longrightarrow U_{1},\,v_{1}+v_{2}\longmapsto v_{1},$

die erste Projektion (oder Projektion auf ${}U_{1}$ bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf ${}U_{1}$ längs ${}U_{2}$) und entsprechend

$p_{2}\colon V\longrightarrow U_{2},\,v_{1}+v_{2}\longmapsto v_{2},$

die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ Untervektorräume von ${}V$ sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung

$V{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}U_{1}\longrightarrow V$

ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

heißt Projektion von ${}V$ auf ${}U$, wenn ${}U=\operatorname {bild} \varphi$ und ${}\varphi {|}_{U}=\operatorname {Id} _{U}$ ist.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$. Zu einer Teilmenge ${}J\subseteq I$ sei

${}V_{J}=\langle v_{i},\,i\in J\rangle \,$

der zu ${}J$ gehörende Untervektorraum und

$p_{J}\colon V\longrightarrow V,\,\sum _{i\in I}a_{i}v_{i}\longmapsto \sum _{i\in J}a_{i}v_{i},$

die zugehörige Projektion. Das Bild dieser Projektion ist ${}V_{J}$ und man kann die Abbildung auch als

$p_{J}\colon V\longrightarrow V_{J}$

auffassen. Auf ${}V_{J}$ liegt die Identität vor. Der Kern der Abbildung ist

${}\operatorname {kern} p_{J}=\langle v_{i},\,i\notin J\rangle \,.$

Beispiel

Für den ${}\mathbb {R} ^{3}$, versehen mit der Standardbasis, ergeben sich (im Sinne von Beispiel 13.2 betrachtet man die zweielementigen Teilmengen ${}J\subset \{1,2,3\}$) drei verschiedene Projektionen auf die Koordinatenebenen. Man nennt

$p_{\{1,2\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,b,0),$

die Projektion auf die Grundebene,

$p_{\{1,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (a,0,c),$

die Projektion auf die Aufebene,

$p_{\{2,3\}}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(a,b,c)\longmapsto (0,b,c),$

die Projektion auf die Kreuzebene (oder Seitenebene). Die Bilder eines Gegenstandes im ${}\mathbb {R} ^{3}$ unter diesen Projektionen heißen auch Grundriss, Aufriss und Kreuzriss.

Zu den einelementigen Teilmengen ${}\{j\}\subseteq \{1,2,3\}$ gehören die Projektionen auf die Achsen.

Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

heißt Projektion, wenn

${}\varphi ^{2}=\varphi \,$

gilt.

Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum.

Zu einer direkten Zerlegung

${}V=U\oplus U'\,$

ist die Projektion auf ${}U$ eine Projektion im Sinne von Definition 13.4. Eine solche Projektion

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

führt umgekehrt zu einer Zerlegung

${}V=\operatorname {kern} \varphi \oplus \operatorname {bild} \varphi \,,$

und ${}\varphi$ ist die Projektion auf ${}\operatorname {bild} \varphi$.

Beweis

Es sei ${}\pi _{U}$ die Projektion auf ${}U$. Für ${}v=u+u'$ mit ${}u\in U,\,u'\in U'$ gilt dann

${}\pi _{U}(\pi _{U}(u+u'))=\pi _{U}(u)=u=\pi _{U}(u+u')\,,$

also ist

${}\pi _{U}^{2}=\pi _{U}\,.$

Es sei umgekehrt

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Endomorphismus mit

${}\varphi ^{2}=\varphi \,.$

Es sei ${}x\in \operatorname {kern} \varphi \cap \operatorname {bild} \varphi$. Dann gibt es insbesondere ein ${}y\in V$ mit

${}\varphi (y)=x\,.$

Dann ist

${}x=\varphi (y)=\varphi (\varphi (y))=\varphi (x)=0\,,$

d.h. der Durchschnitt der beiden Untervektorräume ist der Nullraum. Für ein beliebiges ${}v\in V$ schreiben wir

${}v=\varphi (v)+(v-\varphi (v))\,.$

Dabei gehört der vordere Summand zum Bild und wegen

${}\varphi (v-\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (\varphi (v))=\varphi (v)-\varphi (v)=0\,$

gehört der hintere Summand zum Kern. Es liegt also eine direkte Summenzerlegung vor.

$\Box$

Homomorphismenräume

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Dann nennt man

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,$

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

${}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

${}(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$

definiert wird.

Nach Aufgabe 13.8 handelt es sich in der Tat um einen ${}K$-Vektorraum.

Beispiel

Es sei ${}W$ ein ${}K$- Vektorraum über dem Körper ${}K$. Dann ist die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(K,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto \varphi (1),$

ein Isomorphismus von Vektorräumen, siehe Aufgabe 13.10.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}U$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

2. Eine lineare Abbildung

   $\psi \colon W\longrightarrow T$

   mit einem weiteren Vektorraum ${}T$ induziert eine lineare Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

Beweis

Siehe Aufgabe 13.15.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

${}V=U_{1}\oplus U_{2}\,.$

Es sei ${}W$ ein weiterer ${}K$-Vektorraum und es seien

$\varphi _{1}\colon U_{1}\longrightarrow W$

und

$\varphi _{2}\colon U_{2}\longrightarrow W$

lineare Abbildungen.

Dann ist durch

${}\varphi (v):=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\,,$

wobei ${}v=v_{1}+v_{2}$ die direkte Zerlegung ist, eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

gegeben.

Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung ${}v=v_{1}+v_{2}$ mit ${}v_{1}\in U_{1}$ und ${}v_{2}\in U_{2}$ eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}\varphi (av+bv')&=\varphi _{1}((av+bv')_{1})+\varphi _{2}((av+bv')_{2})\\&=\varphi _{1}(av_{1}+bv'_{1})+\varphi _{2}(av_{2}+bv'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+b\varphi _{1}(v'_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{1}(v'_{1})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi (v)+b\varphi (v').\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

${}V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}\,$

und

${}W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{m}\,$

direkte Summenzerlegungen und es seien

$p_{j}\colon W\longrightarrow W_{j}$

die kanonischen Projektionen.

Dann ist die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \prod _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)},\,f\longmapsto p_{j}\circ {\left(f{|}_{V_{i}}\right)},$

ein Isomorphismus.

Wenn man die ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}$ als Untervektorräume von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\cong \bigoplus _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}\,.$

vor.

Beweis

Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Lemma 13.8. Zum Nachweis der Injektivität sei ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ mit ${}f\neq 0$ gegeben. Dann gibt es ein ${}v\in V$ mit

${}f(v)\neq 0\,.$

Sei ${}v=v_{1}+\cdots +v_{n}$ mit ${}v_{i}\in V_{i}$. Dann ist auch ${}f(v_{i})\neq 0$ für ein ${}i$. Dann ist auch ${}(f(v_{i}))_{j}\neq 0$ für ein ${}j$ und damit ist

${}f_{ij}=p_{j}\circ {\left(f{|}_{V_{i}}\right)}\neq 0\,.$

Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen ${}f_{ij}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)},\,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m$, gegeben, die wir als Abbildungen nach ${}W$ auffassen. Dann sind die

${}f_{i}=\sum _{j=1}^{m}f_{ij}\,$

lineare Abbildungen von ${}V_{i}$ nach ${}W$. Dies ergibt nach Lemma 13.9 eine lineare Abbildung ${}\sum _{i=1}^{n}f_{i}$ von ${}V$ nach ${}W$, die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von ${}W$.

Dann ist die Zuordnung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,f\longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f),$

ein Isomorphismus von ${}K$-Vektorräumen.

Beweis

Die Bijektivität wurde in Satz 10.15 gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

${}{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f+g)\right)}_{ij}=((f+g)(v_{j}))_{i}=(f(v_{j})+g(v_{j}))_{i}=f(v_{j})_{i}+g(v_{j})_{i}={\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f)\right)}_{ij}+{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(g)\right)}_{ij}\,,$

wobei der Index ${}i$ die ${}i$-te Komponente bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ bezeichnet.

$\Box$

Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume ${}Kv_{i}$ bzw. ${}Kw_{j}$ betrachten und Lemma 13.10 anwenden.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit den Dimensionen ${}n$ bzw. ${}m$.

Dann ist

${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\right)}=nm\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 13.11.

$\Box$

Untervektorräume von Homomorphismenräumen

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$. Dann sind die folgenden Teilmengen Untervektorräume von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$.

1. Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist

   ${}S={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi {|}_{U}=0\right\}}\,$

   ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist

   ${}\dim _{K}{\left(S\right)}={\left(\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\right)}\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$

2. Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq W$ ist

   ${}T={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \operatorname {bild} \varphi \subseteq U\right\}}\,$

   ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$, der zu ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}$ isomorph ist. Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist

   ${}\dim _{K}{\left(T\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}\cdot \dim _{K}{\left(U\right)}\,.$

3. Zu Untervektorräumen ${}V_{1}\subseteq V$ und ${}W_{1}\subseteq W$ ist

   ${}H={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (V_{1})\subseteq W_{1}\right\}}\,$

   ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist

   $\dim _{K}{\left(H\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\dim _{K}{\left(W_{1}\right)}+{\left(\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\right)}\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$

4. Zu Untervektorräumen ${}V_{1},\ldots ,V_{n}\subseteq V$ und ${}W_{1},\ldots ,W_{n}\subseteq W$ ist

   ${}L={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (V_{1})\subseteq W_{1}{\text{ und }}\varphi (V_{2})\subseteq W_{2}{\text{ und }}\ldots {\text{ und }}\varphi (V_{n})\subseteq W_{n}\right\}}\,$

   ein Untervektorraum von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$.

Beweis

(1). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Zur Dimensionsaussage sei ${}U'$ ein direktes Komplement zu ${}U$ in ${}V$, also

${}V=U\oplus U'\,.$

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ eine Basis von ${}U'$. Jede lineare Abbildung aus ${}S$ bildet ${}U$ auf ${}0$ ab, und auf ${}U'$ bzw. auf der Basis hat man freie Wahl. Daher ist

${}S\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(U',W\right)}\,$

und die Dimensionsaussage folgt aus Korollar 13.12.

(2). Die Untervektorraumeigenschaft ist wieder klar. Die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$

von Lemma 13.8  (2) ist in diesem Fall injektiv und daher ist

${}T\cong \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,U\right)}\,.$

(3). Die Untervektorraumeigenschaft ist klar. Im endlichdimensionalen Fall sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

eine direkte Summenzerlegung. Nach Lemma 13.10 ist

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{2},W\right)}\,$

und es ist

${}H=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{1},W_{1}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{2},W\right)}\,.$

Daher ist die Dimension gleich

$\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\cdot \dim _{K}{\left(W_{1}\right)}+\dim _{K}{\left(V_{2}\right)}\cdot \dim _{K}{\left(W\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\dim _{K}{\left(W_{1}\right)}+{\left(\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\right)}\dim _{K}{\left(W\right)}\,.$

(4). Mit

${}L_{i}={\left\{\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\mid \varphi (V_{i})\subseteq W_{i}\right\}}\,$

ist ${}L=\bigcap _{i=1}^{k}L_{i}$. Daher folgt (4) aus (3).

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Wir betrachten die natürliche Abbildung

$\Psi \colon V\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,(v,\varphi )\longmapsto \varphi (v),$

wobei links der Produktraum steht. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear. Es ist zwar einerseits

${}\varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})\,$

und andererseits

${}{\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}(v)=\varphi _{1}(v)+\varphi _{2}(v)\,,$

wenn man also eine Komponente festhält, so gilt Additivität (und ebenso Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation) in der anderen Komponente. Im Produktraum gilt

${}(v_{1},\varphi _{1})+(v_{2},\varphi _{2})=(v_{1}+v_{2},\varphi _{1}+\varphi _{2})\,$

und somit ist

${}{\begin{aligned}\Psi ((v_{1},\varphi _{1})+(v_{2},\varphi _{2}))&=\Psi ((v_{1}+v_{2},\varphi _{1}+\varphi _{2}))\\&={\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=\varphi _{1}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}+\varphi _{2}{\left(v_{1}+v_{2}\right)}\\&=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{1}(v_{2})+\varphi _{2}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\\&\neq \varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\\&=\Psi ((v_{1},\varphi _{1}))+\Psi ((v_{2},\varphi _{2}))\end{aligned}}$

(nur in Ausnahmefällen ist ${}\varphi _{1}(v_{2})+\varphi _{2}(v_{1})=0$).

Fußnoten

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