Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 12
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Zeige, dass eine invertierbare Matrix weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.
Aufgabe *
Es sei eine - Matrix derart, dass es -Matrizen mit und mit gibt. Zeige und dass invertierbar ist.
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
Aufgabe
Es sei ein Körper und eine - Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit - Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.
- Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
- Multiplikation der -ten Zeile von mit .
- Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().
Aufgabe
Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.
Aufgabe *
- Überführe die Matrixgleichung
in ein lineares Gleichungssystem.
- Löse dieses lineare Gleichungssystem.
Aufgabe *
Aufgabe
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe *
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe
Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix
Aufgabe *
a) Bestimme, ob die komplexe Matrix
invertierbar ist.
b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem
Aufgabe
Führe für die Matrix
das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.
Aufgabe *
Aufgabe
Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix
Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.
Aufgabe
Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.
Aufgabe
Es sei eine - Matrix und die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn es eine -Matrix mit gibt.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine - Matrix und eine invertierbare -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung
gilt.
Unter einer Blockmatrix versteht man eine - Matrix der Form
wobei eine -Matrix, eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix ist.
Aufgabe
Es sei eine Blockmatrix der Form
gegeben. Zeige, dass der Rang von gleich der Summe der Ränge von und von ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass
gilt.
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