Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Matrix weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix derart, dass es -Matrizen mit und mit gibt. Zeige und dass invertierbar ist.


Aufgabe

Es seien und invertierbare -Matrizen. Zeige, dass auch invertierbar ist, und dass

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().


Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.


Aufgabe *

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Aufgabe *

Es seien und Matrizen über einem Körper mit

Zeige  direkt, dass dann auch

gilt.


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix


Aufgabe *

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Führe für die Matrix

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.


Aufgabe *

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.


Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix und die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn es eine -Matrix mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix und eine invertierbare -Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung

gilt.


Unter einer Blockmatrix versteht man eine -Matrix der Form

wobei eine -Matrix, eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix ist.


Aufgabe

Es sei eine Blockmatrix der Form

gegeben. Zeige, dass der Rang von gleich der Summe der Ränge von und von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass

gilt.


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)