Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 14

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen und im , dass die Koordinatenfunktion von der Basis und nicht nur von abhängt.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

Finde eine Linearform mit .


Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Zeige, dass durch Realteil und Imaginärteil reelle Linearformen auf definiert sind, wobei als reeller Vektorraum betrachtet wird.

Ist der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Linearform?


Aufgabe *

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform mit gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei mit . Zeige, dass es eine Linearform mit und gibt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum und . Zu jedem gebe es eine Linearform

mit

Zeige, dass die linear unabhängig sind.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum über einem Körper und es seien Linearformen auf . Zeige, dass die Beziehung

genau dann gilt, wenn zu dem von den erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.


Aufgabe *

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe

Drücke die Vektoren der Standarddualbasis als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis zur Basis aus.


Aufgabe

Es seien und Vektorräume über einem Körper mit einer Basis von und einer Basis von . Zeige, dass

eine Basis des Homomorphismenraumes ist.


Aufgabe *

Es sei ein -Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass die natürliche Abbildung

nicht linear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige


Aufgabe

Zeige, dass die Definition 14.16 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass die Zuordung

-linear ist.


Aufgabe

Bestimme die Spur zu einer linearen Projektion

auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Finde eine Linearform mit .


Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)

Sei ein Körper und .

1) Zeige, dass die Vektoren

Lösungen zur linearen Gleichung

sind.

2) Zeige, dass diese drei Vektoren linear abhängig sind.

3) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?

4) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe (4 Punkte)

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei der Raum der -Matrizen über dem Körper mit der Standardbasis . Beschreibe die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis .


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