Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 15/latex

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\setcounter{section}{15}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Ein Obstverkäufer verkauft Äpfel, Birnen und Kirschen. Er kann sich nicht genau an seine Einkaufspreise erinnern, aber er weiß, dass er für $5$ Kilo Äpfel so viel gezahlt hat wie für $3$ Kilo Birnen und ein Kilo Kirschen zusammen. Ferner gilt natürlich die alte Obsthändlerregel $3$ Kilo Äpfel entsprechen einem Kilo Birnen und einem Kilo Kirschen zusammen. Wie sieht der \definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{} für diese Preisbedingungen aus? Was kostet ein Kilo Äpfel, wenn er ein Kilo Kirschen für $5$ Euro verkauft?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} zum \definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{} zu
\mathl{\R \begin{pmatrix} 5 \\-4\\ 1 \end{pmatrix} \subseteq \R^3}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Erstelle ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{,} dessen Lösungsraum die Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \begin{pmatrix} 2 \\5\\ -1 \end{pmatrix} \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U^{ { \perp } } }
{ \subseteq }{{ V }^{ * } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einem \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der \definitionsverweis {Orthogonalraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{ { \perp } } }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einem Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \subseteq }{ { V }^{ * } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Untervektorräume sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \langle u_1 , \ldots , u_r \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } } }
{ =} { { \left\{ f \in { V }^{ * } \mid f(u_i) = 0 \text{ für alle } i = 1 , \ldots , r \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{U_1,U_2 \subseteq V}{} seien \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Zeige im \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U_1 \cap U_2 \right) } ^{ { \perp } } }
{ =} { U_1^{ { \perp } } + U_2^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 15.6  (4) mit Hilfe von Lemma 13.13  (1).

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{U \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass es \definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{L_1 , \ldots , L_r}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \bigcap_{i = 1}^r \operatorname{kern} L_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des $K^n$ der Lösungsraum eines \definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den Raum der \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} mit \definitionsverweis {Linearformen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Es sei $L$ eine $\ell \times m$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $N$ eine $n \times p$-Matrix. Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ M \mid M \in \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) , \, L \circ M \circ N = 0 \right\} }} { }
ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)}{} ist.

b) Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} und $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{U \subseteq V}{} und
\mathl{T \subseteq W}{} Untervektorräume. Beschreibe den Untervektorraum
\mathdisp {{ \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \mid \varphi(U) \subseteq T \right\} }} { }
mit Hilfe von geeigneten Basen und Teil a).

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 4 \\-7 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { K^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { K^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von $W$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 8 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { K^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 7 \\1\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\4\\ 2 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { K^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von $W$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {V_1 \oplus V_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * } }
{ =} { V_1^{ { \perp } } \oplus V_2^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und dass die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} der \definitionsverweis {dualen Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { { V }^{ * } } { { V_1 }^{ * } } {} auf
\mathl{V_2^{ { \perp } }}{} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Stelle die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 5 & 2 \\ 4 & 8 & 2 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^3} {K^2 } {} im Sinne von Lemma 15.10 mit der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} bzw. der \definitionsverweis {Standarddualbasis}{}{} dar.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} und es sei \maabbdisp {\varphi^*} { { W }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi }
{ =} { \operatorname{rang} \, \varphi^* }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} zwischen den $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} und es sei \maabb {\varphi^*} { { W }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \defeq }{ \varphi(U) }
{ \subseteq }{W }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der entsprechende Untervektorraum in $W$. Zeige, dass sich in den Dualräumen die \definitionsverweis {Orthogonalräume}{}{}

\mathkor {} {U^{ { \perp } }} {und} {T^{ { \perp } }} {} entsprechen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} und es sei \maabbdisp {\varphi^*} { { W }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.}

a) Zeige, dass für einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{*-1} ( S^{ { \perp } } ) }
{ =} { (\varphi (S))^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

b) Zeige, dass für einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^*( T^{ { \perp } } ) }
{ =} { (\varphi^{-1}(T))^{ { \perp } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {\R^{(\N)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die abzählbar direkte Summe von $\R$ mit sich selbst mit der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {e_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.} Es seien
\mathbed {p_k} {}
{k \in \N} {}
{} {} {} {,} die Projektionen \maabbeledisp {} {\R^{(\N )}} { \R } { \sum_{n \in \N} a_n e_n } {a_k } {.}

a) Zeige, dass \maabbeledisp {\varphi} {V} {\R } {\sum_{n \in \N} a_n e_n} { \sum_{n \in \N} a_n } {,} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} auf $V$ ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.

b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von $V$ in sein \definitionsverweis {Bidual}{}{}
\mathl{{ { V }^{ * } }^{ * }}{} nicht surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( { W }^{ * } , { V }^{ * } \right) } } {\varphi} { \varphi^* } {,} die einer linearen Abbildung ihre \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{} zuordnet, linear ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der Dimension $n$,
\mathl{f_1 , \ldots , f_r \in { V }^{ * }}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { \langle f_1 , \ldots , f_r \rangle }
{ \subseteq} { { V }^{ * } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Linearformen genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( F^{ { \perp } } \right) } }
{ =} { n-r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6 (4+1+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} -2 \\5\\ -4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 6 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { K^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\3\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\5\\ -8 \end{pmatrix} \rangle }
{ \subseteq} { K^3 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von $W$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Stelle die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 6 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 3 \\ 8 & 1 & 2 & 7 \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^4} {K^3 } {} im Sinne von Lemma 15.10 mit der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} bzw. der \definitionsverweis {Standarddualbasis}{}{} dar.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} und \definitionsverweis {Bidual}{}{}
\mathl{{ { V }^{ * } }^{ * }}{.} Es sei
\mathl{F \subseteq { V }^{ * }}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die beiden Orthogonalräume
\mathl{F^{ { \perp } } \subseteq V}{} \zusatzklammer {im Sinne von Definition 15.4} {} {} und
\mathl{F^{ { \perp } } \subseteq { { V }^{ * } }^{ * }}{} \zusatzklammer {im Sinne von Definition 15.1} {} {} über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind.

}
{} {}


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