Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 15

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ein Obstverkäufer verkauft Äpfel, Birnen und Kirschen. Er kann sich nicht genau an seine Einkaufspreise erinnern, aber er weiß, dass er für Kilo Äpfel so viel gezahlt hat wie für Kilo Birnen und ein Kilo Kirschen zusammen. Ferner gilt natürlich die alte Obsthändlerregel Kilo Äpfel entsprechen einem Kilo Birnen und einem Kilo Kirschen zusammen. Wie sieht der Orthogonalraum für diese Preisbedingungen aus? Was kostet ein Kilo Äpfel, wenn er ein Kilo Kirschen für Euro verkauft?




Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme eine Basis zum Orthogonalraum zu .


Aufgabe

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum und der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum Untervektorräume sind.


Aufgabe

Es sei ein Untervektorraum eines -Vektorraumes. Zeige


Aufgabe *

Es sei ein -Vektorraum und seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum die Gleichheit


Aufgabe

Beweise Lemma 15.6  (4) mit Hilfe von Lemma 13.13  (1).


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es Linearformen auf mit

gibt.

b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.


Aufgabe

Beschreibe den Raum der symmetrischen -Matrizen mit Linearformen.


Aufgabe

Es sei ein Körper.

a) Es sei eine -Matrix und eine -Matrix. Zeige, dass

ein Untervektorraum von ist.

b) Es sei ein -dimensionaler und ein -dimensionaler -Vektorraum und und Untervektorräume. Beschreibe den Untervektorraum

mit Hilfe von geeigneten Basen und Teil a).


Aufgabe

Es sei

und

a) Beschreibe den Untervektorraum der -Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von .


Aufgabe *

Es sei

und

a) Beschreibe den Untervektorraum der -Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von .


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

Zeige

und dass die Einschränkung der dualen Abbildung

auf ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Stelle die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung

im Sinne von Lemma 15.10 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.


Aufgabe

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen -Vektorräumen und und es sei

die duale Abbildung. Zeige


Aufgabe

Es sei ein Isomorphismus zwischen den -Vektorräumen und und es sei die duale Abbildung. Es sei ein Untervektorraum und der entsprechende Untervektorraum in . Zeige, dass sich in den Dualräumen die Orthogonalräume

und entsprechen.


Aufgabe

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen -Vektorräumen und und es sei

die duale Abbildung.

a) Zeige, dass für einen Untervektorraum die Beziehung

gilt.

b) Zeige, dass für einen Untervektorraum die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei

die abzählbar direkte Summe von mit sich selbst mit der Basis , . Es seien , , die Projektionen

a) Zeige, dass

eine Linearform auf ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.

b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von in sein Bidual nicht surjektiv ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension , und

Zeige, dass diese Linearformen genau dann linear unabhängig sind, wenn

ist.


Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

und

a) Beschreibe den Untervektorraum der -Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von .


Aufgabe (3 Punkte)

Stelle die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung

im Sinne von Lemma 15.10 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Dualraum und Bidual . Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die beiden Orthogonalräume (im Sinne von Definition 15.4) und (im Sinne von Definition 15.1) über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind.



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