Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 15

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ein Obstverkäufer verkauft Äpfel, Birnen und Kirschen. Er kann sich nicht genau an seine Einkaufspreise erinnern, aber er weiß, dass er für $5$ Kilo Äpfel so viel gezahlt hat wie für $3$ Kilo Birnen und ein Kilo Kirschen zusammen. Ferner gilt natürlich die alte Obsthändlerregel $3$ Kilo Äpfel entsprechen einem Kilo Birnen und einem Kilo Kirschen zusammen. Wie sieht der Orthogonalraum für diese Preisbedingungen aus? Was kostet ein Kilo Äpfel, wenn er ein Kilo Kirschen für $5$ Euro verkauft?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme eine Basis zum Orthogonalraum zu  $ℝ\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)\subseteq {ℝ}^3$. 

Aufgabe

Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade  $U=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right)ℝ$  ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dualraum $V^{\ast }$. Zeige, dass der Orthogonalraum  $U^{\perp }\subseteq V^{\ast }$  zu einem Untervektorraum  $U\subseteq V$  und der Orthogonalraum  $F^{\perp }\subseteq V$  zu einem Untervektorraum  $F\subseteq V^{\ast }$  Untervektorräume sind.

Aufgabe

Es sei  $U=⟨u_1,\dots ,u_r⟩$  ein Untervektorraum eines $K$-Vektorraumes $V$. Zeige

$U^{\perp }=\{f\in V^{\ast }\mid f(u_i)=0\text{ für alle }i=1,\dots ,r\}.$

Aufgabe *

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und  $U_1,U_2\subseteq V$  seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum $V^{\ast }$ die Gleichheit

${(U_1\cap U_2)}^{\perp }=U_1^{\perp }+U_2^{\perp }.$

Aufgabe

Beweise Lemma 15.6  (4) mithilfe von Lemma 13.13  (1).

Aufgabe *

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum.

a) Zeige, dass es Linearformen $L_1,\dots ,L_r$ auf $V$ mit

$U=\bigcap _{i=1}^r\mathrm{kern}{L}_i$

gibt.

b) Zeige, dass jeder Untervektorraum  $U\subseteq V$  der Kern einer linearen Abbildung auf $V$ (in einen $K^r$) ist.

c) Zeige, dass jeder Untervektorraum des $K^n$ der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.

Aufgabe

Beschreibe den Raum der symmetrischen $n\times n$-Matrizen mit Linearformen.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.

a) Es sei $L$ eine $\ell \times m$-Matrix und $N$ eine $n\times p$-Matrix. Zeige, dass

$\{M\mid M\in {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K),L\circ M\circ N=0\}$

ein Untervektorraum von ${\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$ ist.

b) Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler und $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum und  $U\subseteq V$  und  $T\subseteq W$  Untervektorräume. Beschreibe den Untervektorraum

$\{\phi \in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)\mid \phi (U)\subseteq T\}$

mithilfe von geeigneten Basen und Teil a).

Aufgabe

Es sei

$U=⟨\left(\begin{array}{c}4\\ -7\end{array}\right)⟩\subseteq K^2$

und

$T=⟨\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)⟩\subseteq K^2.$

a) Beschreibe den Untervektorraum $W$ der $2\times 2$-Matrizen, die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von $W$.

Aufgabe *

Es sei

$U=⟨\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 8\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)⟩\subseteq K^3$

und

$T=⟨\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 2\end{array}\right)⟩\subseteq K^3.$

a) Beschreibe den Untervektorraum $W$ der $3\times 3$-Matrizen, die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von $W$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

$V=V_1\oplus V_2.$

Zeige

$V^{\ast }=V_1^{\perp }\oplus V_2^{\perp }$

und dass die Einschränkung der dualen Abbildung

$V^{\ast }⟶{V_1}^{\ast }$

auf $V_2^{\perp }$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Stelle die durch die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}6& 5& 2\\ 4& 8& 2\end{array}\right)$

gegebene lineare Abbildung

$\phi :K^3⟶K^2$

im Sinne von Lemma 15.10 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.

Aufgabe *

Es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und es sei

${\phi }^{\ast }:W^{\ast }⟶V^{\ast }$

die duale Abbildung. Zeige

$\mathrm{rang}\phi =\mathrm{rang}{\phi }^{\ast }.$

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to W$ ein Isomorphismus zwischen den $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und es sei ${\phi }^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$ die duale Abbildung. Es sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum und  $T:=\phi (U)\subseteq W$  der entsprechende Untervektorraum in $W$. Zeige, dass sich in den Dualräumen die Orthogonalräume $U^{\perp }$ und $T^{\perp }$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ und es sei

${\phi }^{\ast }:W^{\ast }⟶V^{\ast }$

die duale Abbildung.

a) Zeige, dass für einen Untervektorraum  $S\subseteq V$  die Beziehung

${\phi }^{\ast -1}(S^{\perp })=(\phi (S){)}^{\perp }$

gilt.

b) Zeige, dass für einen Untervektorraum  $T\subseteq W$  die Beziehung

${\phi }^{\ast }(T^{\perp })=({\phi }^{-1}(T){)}^{\perp }$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$V={ℝ}^{(\mathbb{N})}$

die abzählbar direkte Summe von $ℝ$ mit sich selbst mit der Basis $e_n$, $n\in \mathbb{N}$. Es seien $p_k$, $k\in \mathbb{N}$, die Projektionen

${ℝ}^{(\mathbb{N})}⟶ℝ,\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n{e}_n⟼a_k.$

a) Zeige, dass

$\phi :V⟶ℝ,\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n{e}_n⟼\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n,$

eine Linearform auf $V$ ist, die keine Linearkombination der Projektionen ist.

b) Zeige, dass die natürliche Abbildung von $V$ in sein Bidual ${V^{\ast }}^{\ast }$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume. Zeige, dass die Abbildung

${\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_K(W^{\ast },V^{\ast }),\phi ⟼{\phi }^{\ast },$

die einer linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, linear ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n$, es seien  $f_1,\dots ,f_r\in V^{\ast }$  Linearformen und sei

$F=⟨f_1,\dots ,f_r⟩\subseteq V^{\ast }.$

Zeige, dass diese Linearformen genau dann linear unabhängig sind, wenn

${\dim }_K\left(F^{\perp }\right)=n-r$

ist.

Aufgabe (7 (5+1+1) Punkte)

Es sei

$U=⟨\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ -4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 6\end{array}\right)⟩\subseteq K^3$

und

$T=⟨\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ -8\end{array}\right)⟩\subseteq K^3.$

a) Beschreibe den Untervektorraum $W$ der $3\times 3$-Matrizen, die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von $W$.

Aufgabe (3 Punkte)

Stelle die durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}3& 6& 4& 5\\ 5& 2& 1& 3\\ 8& 1& 2& 7\end{array}\right)$

gegebene lineare Abbildung

$\phi :K^4⟶K^3$

im Sinne von Lemma 15.10 mit der Standardbasis bzw. der Standarddualbasis dar.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum mit Dualraum $V^{\ast }$ und Bidual ${V^{\ast }}^{\ast }$. Es sei  $F\subseteq V^{\ast }$  ein Untervektorraum. Zeige, dass die beiden Orthogonalräume  $F^{\perp }\subseteq V$  (im Sinne von Definition 15.4) und  $F^{\perp }\subseteq {V^{\ast }}^{\ast }$  (im Sinne von Definition 15.1) über die natürliche Identifizierung von Raum und Bidual gleich sind.