Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

(\begin{matrix} 1 + 3 i & 5 - i \\ 3 - 2 i & 4 + i \end{matrix}) .

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix

(\begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{matrix}) .

Aufgabe

Wir betrachten die Matrix

(\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{matrix}) .

Berechne die Determinante von $M$ .
Bestimme die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ eine Zeile und eine Spalte weglässt.

Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer unteren Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung. Zeige, dass $φ$ multilinear und alternierend ist.

Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von $2 \times 2$ -Matrizen.

Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von $3 \times 3$ -Matrizen.

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren $(x_{1}, y_{1})$ und $(x_{2}, y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten $2 \times 2$ -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine $2 \times 2$ -Matrix. Zeige

Spur (M) = 1 + det (M) - det (E_{2} - M) .

Aufgabe *

Es sei $z \in ℂ$ und

ℂ ⟶ ℂ, w ⟼ z w,

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ auffasst.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es sei

Φ : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ W

eine multilineare Abbildung und es seien $v_{i 1}, \dots, v_{i m_{i}} \in V_{i}$ und $a_{i j_{i}} \in K$ zu $i = 1, \dots, n$ und $j_{i} = 1, \dots, m_{i}$ . Zeige

\begin{matrix} Φ (\sum_{j = 1}^{m_{1}} a_{1 j} v_{1 j}, \dots, \sum_{j = 1}^{m_{n}} a_{n j} v_{n j}) & = \sum_{(j_{1}, \dots, j_{n}) \in {1, \dots, m_{1}} \times \dots \times {1, \dots, m_{n}}} a_{1 j_{1}} \dots a_{n j_{n}} Φ (v_{1 j_{1}}, \dots, v_{n j_{n}}) . \end{matrix}

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es seien $v_{i_{j}}$ , $i_{j} \in I_{j}$ , Erzeugendensysteme von $V_{j}$ , $j = 1, \dots, n$ . Zeige, dass eine multilineare Abbildung

△ : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ W

durch

△ (v_{i_{1}}, \dots, v_{i_{n}})

festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei

△ : V \times V ⟶ K

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien $u, v, w \in V$ . Ziehe in

△ (\begin{matrix} u + 2 v \\ v + 3 w \end{matrix})

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

{Mat}_{2} (K) ⟶ K, (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) ⟼ a d + c b,

multilinear ist, aber nicht alternierend.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Ist die Abbildung

{Mat}_{2} (K) ⟶ K, (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) ⟼ a c - b d,

multilinear in den Zeilen? In den Spalten?

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und $n \in ℕ_{+}$ . Zeige, dass die Determinante

{Mat}_{n} (K) = (K^{n})^{n} ⟶ K, M ⟼ det M,

für beliebiges $k \in {1, \dots, n}$ und beliebige $n - 1$ Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k - 1}, v_{k + 1}, \dots, v_{n} \in K^{n}$ , für $u \in K^{n}$ und für $s \in K$ die Gleichheit

det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ s u \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = s det (\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{k - 1} \\ u \\ v_{k + 1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

gilt.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als

M = (\begin{matrix} A & B \\ 0 & D \end{matrix})

mit quadratischen Matrizen $A$ und $D$ schreiben kann. Zeige

det M = det A \cdot det D .

Aufgabe *

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als

M = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix})

mit quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

det M = det A \cdot det D - det B \cdot det C

im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Untersuche die Abbildung

{Hom}_{K} (V, W) \times V ⟶ W, (φ, v) ⟼ φ (v),

auf Multilinearität.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, es seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ und es sei

Φ : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ W

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

{(v_{1}, \dots, v_{n}) \in V_{1} \times \dots \times V_{n} ∣ Φ (v_{1}, \dots, v_{n}) = 0}

im Allgemeinen kein Untervektorraum von $V_{1} \times \dots \times V_{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1}, \dots, V_{n}$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit ${Mult}_{K} (V_{1}, \dots, V_{n}; W)$ bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ und $n \in ℕ$ . Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit ${Alt}_{K}^{n} (V, W)$ bezeichnet wird, ein Untervektorraum von ${Mult}_{K} (V, \dots, V; W)$ (wobei der Vektorraum $V$ $n$ -fach auftritt) ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung und es sei

△ : W^{m} ⟶ K

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

V^{m} ⟶ K, (v_{1}, \dots, v_{m}) ⟼ △ (φ (v_{1}), \dots, φ (v_{m})),

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass, wenn $△$ alternierend ist, dann auch $△ \circ φ^{n}$ alternierend ist, und dass hiervon bei $φ$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.