Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 16

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass zu einem -Vektorraum mit Dualraum die Auswertungsabbildung

bilinear ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe

Wir betrachten die Matrix

  1. Berechne die Determinante von .
  2. Bestimme die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in eine Zeile und eine Spalte weglässt.


Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.


Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer unteren Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zeige, dass multilinear und alternierend ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Multiplikation

multilinear ist. Ist sie alternierend?


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Abbildung

multilinear ist.


Aufgabe *

Sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

mit

multilinear ist.


Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von -Matrizen.


Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von -Matrizen.


Aufgabe

Zeige, dass für jede Elementarmatrix die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

Linalg parallelogram area.png

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Aufgabe

Sei und

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung auffasst.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Es sei

eine multilineare Abbildung und es seien und . Zeige


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Es seien , , Erzeugendensysteme von , . Zeige, dass eine multilineare Abbildung

durch

festgelegt ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien . Ziehe in

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass die Abbildung

multilinear ist, aber nicht alternierend.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Ist die Abbildung

multilinear in den Zeilen? In den Spalten?


Aufgabe *

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

für beliebiges und beliebige Vektoren , für und für die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige


Aufgabe *

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

im Allgemeinen nicht gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Untersuche die Abbildung

auf Multilinearität.


Aufgabe

Es sei ein Körper, es seien und Vektorräume über und es sei

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

im Allgemeinen kein Untervektorraum von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, seien und Vektorräume über und . Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Untervektorraum von (wobei der Vektorraum -fach auftritt) ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und es sei

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung

multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn alternierend ist, dass dann auch alternierend ist, und dass hiervon bei bijektiv auch die Umkehrung gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen und sei

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Abbildung

ebenfalls multilinear ist.


Aufgabe

Berechne zur (komplexen) Matrix

die Determinante und die inverse Matrix.


Aufgabe *

Bestimme, für welche die Matrix

invertierbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei . Zeige, dass es egal ist, ob man die Determinante in , in oder in ausrechnet.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei

eine multilineare und alternierende Abbildung. Es seien . Ziehe in

Summen und Skalare nach außen und vereinfache.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

(), lineare Abbildungen. Zeige, dass dann die Abbildung

multilinear ist.



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