Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 15

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Unterräume und Dualraum

Untervektorräume eines -Vektorraumes stehen in direkter Beziehung zu Untervektorräumen des Dualraumes .


Definition  

Zu einem Untervektorraum

in einem -Vektorraum nennt man

den Orthogonalraum zu .

Diese Orthogonalräume sind wieder Untervektorräume, siehe Aufgabe 15.4. Ob eine Linearform zu gehört, kann man auf einem Erzeugendensystem von überprüfen, siehe Aufgabe 15.5. Im zweiten Semester, wenn wir Skalarprodukte zur Verfügung haben, wird es auch einen Orthogonalraum zu in selbst geben.


Beispiel  

Wir betrachten den Untervektorraum

Der Orthogonalraum zu besteht aus allen Linearformen

mit und . Da eine Linearform bezüglich der Standardbasis durch eine Zeilenmatrix gegeben ist, geht es um die Lösungsmenge des Gleichungssystems

Der Lösungsraum ist



Beispiel  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis , , und Dualbasis , . Es sei

zu einer Teilmenge . Dann ist



Definition  

Es sei ein -Vektorraum und

ein Untervektorraum im Dualraum zu . Dann nennt man

den Orthogonalraum zu .


Beispiel  

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem

gegeben, wobei wir die -te Gleichung als Kernbedingung für die Linearform

auffassen. Es sei

der von diesen Linearformen im Dualraum erzeugte Untervektorraum. Dann ist der Lösungsraum des Gleichungssystems.


Generell gilt die Beziehung

Insbesondere ist



Lemma  

Es sei ein -Vektorraum mit Dualraum . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu Untervektorräumen ist
  2. Zu Untervektorräumen ist
  3. Sei endlichdimensional. Dann ist

    und

  4. Sei endlichdimensional. Dann ist

    und

Beweis  

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion

ist auch klar. Sei , . Dann kann man eine Basis von zu einer Basis von ergänzen. Die Linearform verschwindet auf und gehört daher zu . Wegen

ist .

(4). Es sei eine Basis von und es sei

die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist

Wenn die Abbildung nicht surjektiv wäre, so wäre ein echter Untervektorraum von und hätte maximal die Dimension . Es sei ein -dimensionaler Untervektorraum mit

Nach Lemma 14.5 gibt es eine von verschiedene Linearform

deren Kern genau ist. Sei . Dann ist

was der linearen Unabhängigkeit der widerspricht. Also ist surjektiv ist und die Aussage folgt aus Satz 11.5.



Korollar

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum.

Dann gibt es Linearformen auf mit

Jeder Untervektorraum ist der Kern einer linearen Abbildung und jeder Untervektorraum des ist der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.8.




Die duale Abbildung

Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung

die duale Abbildung zu .

Diese Zuordnung beruht also einfach darauf, dass man die Hintereinanderschaltung

betrachtet. Die duale Abbildung ist ein Spezialfall von der in Lemma 13.8  (1) beschriebenen Situation. Insbesondere ist die duale Abbildung wieder linear.



Lemma  

Es seien Vektorräume über einem Körper und es seien

und

lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für die duale Abbildung gilt
  2. Für die Identität auf ist
  3. Wenn surjektiv ist, so ist injektiv.
  4. Wenn injektiv ist, so ist surjektiv.

Beweis  

(1). Für ist

(2) folgt direkt aus .

(3). Sei und

Wegen der Surjektivität von gibt es für jedes ein mit . Daher ist

und ist selbst die Nullabbildung. Nach Lemma 11.4 ist injektiv.

(4). Die Voraussetzung bedeutet, dass man als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Lemma 9.12

mit einem weiteren -Untervektorraum schreiben. Eine Linearform

lässt sich zu einer Linearform

fortsetzen, indem man beispielsweise auf als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.



Lemma  

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über , wobei endlichdimensional sei. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es Vektoren und Linearformen auf mit[1]

Beweis  

Es sei eine Basis von und die zugehörige Dualbasis. Wir setzen

Dann ist für jeden Vektor

wobei die letzte Gleichung auf Lemma 14.12 beruht.




Lemma  

Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis . Es seien bzw. die zugehörigen Dualbasen. Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die -Matrix

beschrieben werde.

Dann wird die duale Abbildung

bezüglich der Dualbasen von bzw. durch die transponierte Matrix beschrieben.

Beweis  

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit[2]

in . Dies kann man auf der Basis , , überprüfen. Es ist einerseits

und andererseits ebenso




Das Bidual

Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums , also

das Bidual von .



Lemma  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum.

Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

Wenn endlichdimensional ist, so ist ein Isomorphismus.

Beweis  

Sei fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass eine Linearform auf dem Dualraum ist. Offenbar ist eine Abbildung von nach . Die Additivität ergibt sich aus

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien . Es ist die Gleichheit

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei beliebig. Dann folgt die Additivität aus

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. D.h. für alle Linearformen ist . Dann ist aber nach Lemma 14.6 schon

und nach dem Injektivitätskriterium ist injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12.


Die Abbildung bildet also einen Vektor auf die Auswertung (oder Auswertungsabbildung) ab, die eine Linearform an der Stelle auswertet.



Fußnoten
  1. Die sind im Sinne von Bemerkung 14.4 zu verstehen.
  2. In gelten die Beziehungen , dort steht der Laufindex also vorne; bei der behaupteten Gleichung steht der Laufindex hinten, was dem Transponieren entspricht.


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