Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 24/latex
\setcounter{section}{24}
\epigraph { Das Lernen und der Orgasmus finden letztlich im Kopf statt } { }
\zwischenueberschrift{Der Satz von Cayley-Hamilton}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arthur_Cayley.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Arthur Cayley (1821-1895)} }
\bildlizenz { Arthur Cayley.jpg } {} {Zuirdj} {Commons} {PD} {http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Cayley.html}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {WilliamRowanHamilton.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {William Hamilton (1805-1865)} }
\bildlizenz { WilliamRowanHamilton.jpeg } {} {} {PD} {} {http://mathematik-online.de/F77.htm}
Einer der Höhepunkte dieses Kurses ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können erinnern wir daran, dass man in Polynome quadratische Matrizen einsetzen kann, siehe die 20. Vorlesung. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable $X$ durch die Matrix $M$ und muss die Potenzen $M^{i}$ als das $i$-te Matrixprodukt von $M$ mit sich selbst verstehen und die Addition als die
\zusatzklammer {komponentenweise} {} {}
Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar $a$ wird dabei als das $a$-fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { 3X^2 - 5X+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist also
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P(M)
}
{ =} {3 \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}^2 - 5 \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + 2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16 & 12 \\ 9 & 13 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 40 & 16 \\ 12 & 36 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Zu einer fixierten Matrix
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} gibt es also eine \stichwort {Einsetzungsabbildung} {}
\maabbeledisp {} {K[X]} {\operatorname{Mat}_{ n } (K)
} {P} {P(M)
} {.}
Dies ist
\zusatzgs {ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu $a \in K$} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{,}
d.h. es gelten die Beziehungen
\mathdisp {(P+Q)(M)=P(M)+Q(M),\, (P \cdot Q)(M)=P(M) \circ Q(M) \text{ und } 1 (M) = E_{ n }} { . }
Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.
\inputfaktbeweis
{Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {X^n+c_{n-1} X^{n-1} + \cdots +c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $M$.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (M)
}
{ =} { M^n +c_{n-1} M^{n-1} + \cdots +c_1M+c_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.}
\faktzusatz {}
}
{
Wir fassen die Matrix
\mathl{X E_{ n } - M}{} als eine Matrix auf, deren Einträge im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K(X)}{} liegen. Die
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{}
\mathdisp {(X E_{ n } - M)^{ \operatorname{adj} }} { }
liegt ebenfalls in
\mathl{\operatorname{Mat}_{ n } (K(X))}{.} Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
von
\mathl{(n-1) \times (n-1)}{-}Untermatrizen von
\mathl{X E_{ n } - M}{.} In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, so dass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der
\mathl{(n-1)}{-}ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ (X E_{ n } - M) ^{ \operatorname{adj} }
}
{ =} { X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} + \cdots + XA_1 + A_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Matrizen
\mathdisp {A_i \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)} { , }
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu
\mathl{X^{i}}{} die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von
Satz 17.9
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M } E_{ n }
}
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ (X E_{ n } -M)^{ \operatorname{adj} }
}
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ ( X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} \bruchhilfealign + \cdots + XA_1 + A_0 )
}
{ =} { X^n A_{n-1} + X^{n-1} ( A_{n-2} - M \circ A_{n-1} ) \bruchhilfealign + X^{n-2} ( A_{n-3} - M \circ A_{n-2} ) \bruchhilfealign + \cdots + X^{1} ( A_{0} - M \circ A_{1} ) - M \circ A_0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \chi_{ M } E_{ n }
}
{ =} {X^n E_{ n } + X^{n-1} c_{n-1} E_{ n }
+ X^{n-2} c_{n-2} E_{ n } + \cdots + X^{1} c_{1} E_{ n } + c_0 E_{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
\mathdisp {\begin{matrix} E_{ n } & = & A_{n-1} \\ c_{n-1} E_{ n } & = & A_{n-2} - M \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} E_{ n } & = & A_{n-3} - M \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} E_{ n } & = & A_{0} - M \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit
\mathl{M^n, M^{n-1}, M^{n-2} , \ldots , M^1 , E_{ n }}{} und erhalten das Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} M^n & = & M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-1} M^{n-1} & = & M^{n-1} \circ A_{n-2} - M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} M^{n-2} & = & M^{n-2} \circ A_{n-3} - M^{n-1} \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} M^1 & = & M A_{0} - M^2 \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade
\mathl{\chi_{ M }\, (M)}{.} Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$, da jeder Teilsummand
\mathl{M^{i+1} \circ A_{i}}{} einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (M)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Cayley-Hamilton/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ f } (f)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 24.1.
\zwischenueberschrift{Minimalpolynom und charakteristisches Polynom}
\inputfaktbeweis
{Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ f }}{} ein Vielfaches des
\definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{}
\mathl{\mu_f}{} zu $f$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 24.2 und Korollar 20.12.
Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms zu
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
durch die Dimension des Vektorraums $V$ beschränkt. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom stimmen in verschiedener Hinsicht überein, beispielsweise besitzen sie die gleichen Nullstellen.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v \in V}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von $f$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\lambda$ und es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P(f)) (v)
}
{ =} { P(\lambda) v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist $v$ ein Eigenvektor von
\mathl{P(f)}{} zum Eigenwert
\mathl{P(\lambda)}{.} Der Vektor
\mathl{v \neq 0}{} gehört genau dann zum Kern von
\mathl{P(f)}{,} wenn $\lambda$ eine Nullstelle von $P$ ist.}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f^k) (v)
}
{ =} { \lambda^k v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher folgt alles daraus, dass die Zuordnung
\mathl{P \mapsto P(f)}{} mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.
\inputfaktbeweis
{Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzen das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ f }$ und das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$\mu_f$ die gleichen Nullstellen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus
Cayley-Hamilton.
Umgekehrt sei
\mathl{\lambda \in K}{} eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei
\mathl{v \in V}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
von $f$ zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\lambda$, den es nach
Satz 23.2
gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_f
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 0
}
{ =} { \mu_f(f)
}
{ =} { { \left( (X- \lambda_1)^{m_1} \cdots (X- \lambda_k)^{m_k} Q \right) } (f)
}
{ =} { (f- \lambda_1
\operatorname{Id}_{ V } )^{m_1} \cdots (f - \lambda_k
\operatorname{Id}_{ V })^{m_k} Q(f)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir wenden dies auf $v$ an. Nach
Lemma 24.4
bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf
\mathl{(\lambda - \lambda_i)^{m_i} v}{} bzw. auf
\mathl{Q(\lambda) v}{} ab. Insgesamt wird somit $v$ auf
\mathdisp {( \lambda- \lambda_1)^{m_1} \cdots ( \lambda- \lambda_k)^{m_k} Q ( \lambda) v} { }
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(\lambda)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, muss ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda_i
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
\zwischenueberschrift{Weitere Beispiele}
Den folgenden Begriff werden wir im Moment ausschließlich für \zusatzklammer {invertierbare} {} {} Matrizen anwenden.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^n
}
{ = }{e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Ordnung}{} von $g$. Man schreibt hierfür
\mathl{\operatorname{ord} \, (g)}{.} Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (g)
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Wir betrachten lineare Abbildungen
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
mit der Eigenschaft, dass eine Potenz davon die Identität ist, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^k
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass $\varphi$ also endliche Ordnung besitzt. Typische Beispiele sind Drehungen um einen Winkel der Form
\mathl{{ \frac{ 360 }{ k } }}{} oder Permutationsmatrizen. Das Polynom
\mathl{X^k -1}{} annulliert dann diesen Endomorphismus und ist daher ein Vielfaches des Minimalpolynoms.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißen die Nullstellen des
\definitionsverweis {Polynoms}{}{}
\mathdisp {X^n-1} { }
in $K$ die $n$-ten \definitionswort {Einheitswurzeln}{} in $K$.
}
\inputfaktbeweis
{Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Die Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^n-1}{} über ${\mathbb C}$ sind
\mathbeddisp {e^{2 \pi { \mathrm i} k / n} = \cos { \frac{ 2 \pi k }{ n } } + { \mathrm i} \sin { \frac{ 2 \pi k }{ n } }} {}
{k=0,1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {In
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} gilt die Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { (X-1)(X- e^{2 \pi { \mathrm i} / n}) { \cdots }(X- e^{2 \pi { \mathrm i} (n-1) /n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Der Beweis verwendet einige Grundtatsachen über die
\definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{ 2 \pi { \mathrm i} k /n} \right) }^n
}
{ =} { e^{ 2 \pi { \mathrm i} k }
}
{ =} { { \left( e^{ 2 \pi { \mathrm i} } \right) }^k
}
{ =} {1^k
}
{ =} {1
}
}
{}{}{.}
Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^n-1}{.} Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{2 \pi { \mathrm i} k/n}
}
{ =} { e^{2 \pi { \mathrm i} \ell/n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ k
}
{ \leq }{ \ell
}
{ \leq }{n-1
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort durch betrachten des Quotienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{2 \pi { \mathrm i} ( \ell -k )/n}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, und daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell - k
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der
eulerschen Formel.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
$\pi$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} nennt man die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_\pi
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
für die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und sonst alle Einträge $0$ sind, eine
\definitionswort {Permutationsmatrix}{.}
}
Wir wollen das charakteristische Polynom zu einer Permutationsmatrix bestimmen. Dabei verwenden wir, dass eine Permutation ein Produkt von Zykeln ist. Zu einem Zykel der Form
\mathl{1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto k \mapsto 1}{} gehört die Permutationsmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Jeder Zykel kann
\zusatzklammer {durch Umnummerierung} {} {}
auf diese Gestalt gebracht werden.
\inputfaktbeweis
{Permutationsmatrix/Zykel/Charakteristisches Polynom/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
einer
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
$M_\rho$ zu einem Zykel
\mathl{\rho \in S_n}{} der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$k$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { (X-1)^{n-k}(X^k-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können von einem Zykel der Form
\mathl{1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto k \mapsto 1}{} ausgehen. Die zugehörige Permutationsmatrix $M_\rho$ ist bezüglich
\mathl{e_{k+1} , \ldots , e_n}{} die Einheitsmatrix und hat bezüglich der ersten $k$ Standardvektoren die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Die Determinante zu
\mathl{XE_n - M_\rho}{} ist
\mathl{(X-1)^{n-k}}{} multipliziert mit der Determinante von
\mathdisp {\begin{pmatrix} X & 0 & \ldots & 0 & -1 \\ -1 & X & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -1 & X & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & -1 & X \end{pmatrix}} { . }
Die Entwicklung nach der ersten Zeile liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^k+ (-1)^{k+1} (-1) (-1)^{k-1}
}
{ =} {X^k -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Permutationsmatrix/Zykel/C/Eigentheorie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einer
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
$M_\rho$ über ${\mathbb C}$ zu einem
\definitionsverweis {Zykel}{}{}
\mathl{\rho \in S_n}{} mit
\mathl{\rho:i_1 \mapsto i_2 \mapsto \ldots \mapsto i_k \mapsto i_1}{}}
\faktfolgerung {und einer $k$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
$\zeta$ sind die Vektoren
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_\zeta
}
{ \defeq} { \zeta^{k-1} e_{i_1} + \zeta^{k-2} e_{i_2} + \cdots + \zeta e_{i_{k-1} } + e_{i_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$\zeta$.}
\faktzusatz {Insbesondere ist eine Permutationsmatrix zu einem Zykel über ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ M_\rho (v_\zeta)
}
{ =} {M_\rho ( \zeta^{k-1} e_{i_1} + \zeta^{k-2} e_{i_2} + \cdots + \zeta e_{i_{k-1} } + e_{i_k} )
}
{ =} { \zeta^{k-1} M_\rho ( e_{i_1}) + \zeta^{k-2} M_\rho ( e_{i_2} ) + \cdots + \zeta M_\rho ( e_{i_{k-1} } )+ M_\rho ( e_{i_k} )
}
{ =} { \zeta^{k-1} e_{i_2} + \zeta^{k-2} e_{i_3} + \cdots + \zeta e_{i_{k} } + e_{i_1}
}
{ =} { e_{i_1} + \zeta^{k-1} e_{i_2} + \zeta^{k-2} e_{i_3} + \cdots + \zeta e_{i_{k} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \zeta ( \zeta^{k-1} e_{i_1} + \zeta^{k-2} e_{i_2} + \cdots + \zeta e_{i_{k-1} } + e_{i_k} )
}
{ =} { \zeta v_\zeta
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Da es $k$ verschiedene $k$-te Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$ gibt, sind diese Vektoren nach
Lemma 22.3
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
und erzeugen einen
$k$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
$U$ von $K^n$, und zwar gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle e_{i_j} ,\, j = 1 , \ldots , k \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Vektoren
\mathbed {e_i} {}
{i \neq {i_j}} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {Fixvektoren}{}{}
sind, bilden die $v_\zeta$ zusammen mit den
\mathbed {e_i} {}
{i \neq {i_j}} {}
{} {} {} {,}
eine Basis aus Eigenvektoren von $M_\rho$ und daher ist $M_\rho$ diagonalisierbar.
{Permutationsmatrix/C/Diagonalisierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}}
\faktfolgerung {ist über ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 24.26. }