Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 57/latex

\setcounter{section}{57}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zu $\varphi$ mit dem charakteristischen Polynom der \definitionsverweis {Tensorierung}{}{} $\varphi_L$ übereinstimmt.

}
{} {} Allerdings können beim Übergang von $K$ nach $L$ neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.

a) Definiere eine $L$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {L \otimes_{ K } \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } {\operatorname{Hom}_{ L } { \left( V_L , W_L \right) } } {,} die
\mathl{c \otimes \varphi}{} auf
\mathl{c { \left( \operatorname{Id}_{ L } \otimes \varphi \right) }}{} abbildet.

b) Es seien die beiden Vektorräume nun \definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.} Zeige, dass die Abbildung aus Teil (a) ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und $W$ ein $L$-Vektorraum. Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es eine $L$-lineare Abbildung \maabbdisp {\tilde{ \varphi }} {V_L} {W } {} gibt, die $\varphi$ fortsetzt \zusatzklammer {also auf
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ V }
{ \subseteq }{ V_L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit $\varphi$ übereinstimmt} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {e_1 \wedge (e_2 -4 e_3) - e_2 \wedge (5 e_1 +3e_2-4e_3) + { \left( 7e_3 \right) } \wedge e_1 -4 { \left( 5e_1 \wedge 2 e_3 \right) } + (2e_1-8e_2) \wedge (2e_1-8e_2)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^3 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {( e_1-e_2) \wedge (e_2 -4 e_3) \wedge (3e_1-5e_2+4e_3) + { \left( 7e_3 \right) } \wedge { \left( e_1 -4 e_3 \right) } \wedge { \left( 5 e_3 -e_1 \right) } -(4e_3-2 e_2 ) \wedge e_2 \wedge (4 e_1 +3e_2-4e_3)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Vereinfache in
\mathl{\bigwedge^3 \R^3}{} den Ausdruck
\mathdisp {- 7e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + 6 e_2 \wedge e_3 \wedge e_1 + 4 e_3 \wedge e_2 \wedge e_1 +3 e_2 \wedge e_1 \wedge e_3 +5 e_3 \wedge e_1 \wedge e_2 -11 e_2 \wedge e_3 \wedge e_1} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ \bigwedge^1 V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Zeige, dass
\mathl{\bigwedge^n V}{} nicht der Nullraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $m$-\definitionsverweis {dimensionaler }{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ < }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k }
{ \in }{ V^* }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V } { K } {(v_1 , \ldots , v_k)} { \det (f_i (v_j))_{1 \leq i ,j \leq k} } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} und \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige folgende Aussage über das Dachprodukt: Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$. Es seien \mathkor {} {v_1 , \ldots , v_r} {und} {w_1 , \ldots , w_r} {} Vektoren in $V$, die miteinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_r \end{pmatrix} }
{ =} { M \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_r \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} stehen, wobei $M$ eine $r \times r$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} bezeichnet. Dann gilt in
\mathl{\bigwedge^r V}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w_1 \wedge \ldots \wedge w_r }
{ =} { ( \det M) v_1 \wedge \ldots \wedge v_r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise Satz 57.9 direkt aus der Konstruktion für das Tensorprodukt und der Konstruktion für das Dachprodukt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Kann man durch die Zuordnung
\mathdisp {v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n} { }
eine \zusatzklammer {lineare} {} {} Abbildung von
\mathl{\bigwedge^n V}{} nach
\mathl{V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V}{} festlegen? } {Kann man auf die kanonische Abbildung \maabbdisp {\pi} {V \times \cdots \times V } { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V } {} die universelle Eigenschaft für das Dachprodukt anwenden, um eine lineare Abbildung von
\mathl{\bigwedge^n V}{} nach
\mathl{V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V}{} zu erhalten? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\pi} {V \times \cdots \times V} { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V } {} \zusatzklammer {mit $n$ Faktoren} {} {} die kanonische multilineare Abbildung. \aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{\sigma \in S_n}{} eine \definitionsverweis {Permutation}{}{.} Zeige, dass es eine multilineare Abbildung \maabbdisp {\pi \circ \sigma} {V \times \cdots \times V} { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\pi \circ \sigma )(v_1 , \ldots , v_n) }
{ =} { v_{\sigma (1) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{\sigma (n)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }{Zeige, dass
\mathl{\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \pi \circ \sigma}{} multilinear und \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist. }{Zeige, dass es eine lineare Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\bigwedge^n V} { V \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi ( v_1 \wedge \ldots \wedge v_n) }
{ =} { \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) v_{\sigma (1) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{\sigma (n)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der $L$-Vektorräume
\mathdisp {\bigwedge^n V_L \text{ und } ( \bigwedge^n V )_L} { }
\zusatzklammer {wobei links das \definitionsverweis {Dachprodukt}{}{} über $L$ steht} {} {} gibt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi }
{ =} { \det \varphi_L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ und \maabbdisp {\varphi_{\mathbb C}} {V_{\mathbb C}} {V_{\mathbb C} } {} die zugehörige \definitionsverweis {Komplexifizierung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \zusatzklammer {\definitionsverweis {asymptotisch}{}{}} {} {} \definitionsverweis {stabil}{}{} ist, wenn dies für $\varphi_{\mathbb C}$ gilt.

}
{} {}