Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 58

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und sei eine Basis von . Beschreibe die Matrix zur natürlichen Abbildung ( Faktoren)

bezüglich der zugehörigen Basen.


Aufgabe

Es sei

eine direkte Zerlegung in Untervektorräume der Dimension und . Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie

gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit gibt.


Aufgabe *

Es sei ein Vektorraum über dem Körper und

ein Endomorphismus. Es sei

das -te Dachprodukt von . Es seien linear unabhängige Eigenvektoren zu zu den Eigenwerten . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Es sei

eine diagonalisierbare -lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Es sei

eine trigonalisierbare -lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt

trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe des Dachproduktes.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

im als Linearkombination der Dachprodukte , und aus.


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Basis

von und die dadurch induzierte Basis

von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.



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