Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 57

Lineare Abbildungen bei Körperwechsel

Definition

φ : V ⟶ W

zwischen $K$ -Vektorräumen $V$ und $W$ und einer Körpererweiterung $K \subseteq L$ heißt die $L$ -lineare Abbildung

φ_{L} : V_{L} = L \otimes_{K} V ⟶ W_{L} = L \otimes_{K} W, b \otimes v ⟼ b \otimes φ (v),

die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.

Diese Abbildung ist nicht nur $K$ -linear, sondern, wie in Proposition 56.13 (3) gezeigt wurde, auch $L$ -linear.

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und sei $W$ ein $m$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{m}$ . Es sei

φ : V ⟶ W

eine lineare Abbildung mit der beschreibenden Matrix $M = M_{𝔴}^{𝔳} (φ) = (a_{i j})$ . Es sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann wird die durch den Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung

$φ_{L} : V_{L} ⟶ W_{L}$

bezüglich der Basen $1 \otimes v_{1}, \dots, 1 \otimes v_{n}$ von $V_{L}$ und $1 \otimes w_{1}, \dots, 1 \otimes w_{m}$ von $W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix $M$ , aufgefasst über $L$ , beschrieben.

Beweis

Wegen Lemma 56.14 liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement $v_{j}$ von $V$ wird unter $φ$ auf

φ (v_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i}

abgebildet. Somit wird das Basiselement $1 \otimes v_{j}$ von $V_{L}$ unter $φ_{L}$ auf

φ_{L} (1 \otimes v_{j}) = 1 \otimes φ (v_{j}) = 1 \otimes (\sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} (1 \otimes w_{i}) .

Die Koeffizienten $a_{i j}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von $φ_{L}$ .

◻

Das Dachprodukt

Unter den multilinearen Abbildungen spielen die alternierenden Abbildungen eine besondere Rolle, das wichtigste Beispiel ist die Determinante. Wir führen hier eine Konstruktion für das sogenannte Dachprodukt durch, dass für die alternierenden Abbildungen eine ähnliche Rolle spielt wie das Tensorprodukt für die multilinearen Abbildungen.

Wir erinnern an alternierende Abbildungen.

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und sei $n \in ℕ$ . Eine multilineare Abbildung

Φ : V^{n} = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{V \times \dots \times V}} ⟶ W

heißt alternierend, wenn Folgendes gilt: Falls in $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i} = v_{j}$ für ein Paar $i \neq j$ , so ist

Φ (v) = 0 .

Konstruktion

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ . Wir konstruieren das sogenannte $n$ -te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\overset{n}{⋀} V$ . Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form

(v_{1}, \dots, v_{n}) mit v_{i} \in V

und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ . Wir betrachten den Vektorraum

H = K^{(S)},

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

a_{1} e_{s_{1}} + \dots + a_{k} e_{s_{k}} mit a_{i} \in K und s_{i} \in S,

die $e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $Abb (S, K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente $s \in S$ den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$ , der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v + w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v, w \in V$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, a v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - a e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ und $a \in K$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{j - 1}, v, v_{j + 1}, \dots, v_{n})}

für $i < j$ und beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots,, v_{j - 1}, v_{j + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ .

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Terme zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

\overset{n}{⋀} V := H / U,

d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$ .

Die Elemente $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von $H$ . Die Restklasse von $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ modulo $U$ bezeichnen wir mit^[1]

v_{1} \land \dots \land v_{n} .

Die Erzeuger von $U$ werden dann zu den Rechenregeln^[2]

\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land (v + w) \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} & = v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} + v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land w \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}, \end{matrix}

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land a v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} = a \cdot v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}

und

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{j - 1} \land v \land v_{j + 1} \land \dots \land v_{n} = 0 .

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion 57.3 konstruierten) $K$ -Vektorraum $\overset{n}{⋀} V$ die $n$ -te äußere Potenz (oder das $n$ -te Dachprodukt) von $V$ . Die Abbildung

V^{n} ⟶ \overset{n}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n},

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Rechenregeln für das Dachprodukt

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

Die Elemente der Form $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ mit $v_{i} \in V$ bilden ein Erzeugendensystem von $\overset{n}{⋀} V$ .

Die Abbildung
$V^{n} ⟶ \overset{n}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n},$

ist multilinear und alternierend.

Es ist
$v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land w \land v_{i + 2} \land \dots \land v_{n} = - v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land w \land v \land v_{i + 2} \land \dots \land v_{n} .$

Es seien $u_{1}, \dots, u_{m} \in V$ gegeben und seien
$v_{j} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} u_{i}$

für $j = 1, \dots, n$ . Dann ist

$\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{n} & = \sum_{(i_{1}, \dots, i_{n}) \in {1, \dots, m}^{n}} (\prod_{j = 1}^{n} a_{i_{j} j}) u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j}) u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} . \end{matrix}$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

V^{n} ⟶ H ≅ K^{(V^{n})} ⟶ H / U

vor, wobei

(v_{1}, \dots, v_{n})

auf

e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}

und dies auf die Restklasse

v_{1} \land \dots \land v_{n}

abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums

U

, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Lemma 16.8 für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Lemma 16.6 für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel $(i_{1}, \dots, i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist $u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} = 0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form $1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich

\sum_{π \in S_{n}} \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j} u_{i_{π (1)}} \land \dots \land u_{i_{π (n)}} = \sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j} u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} .

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum und seien $v_{1}, \dots, v_{n}$ und $w_{1}, \dots, w_{n}$ Vektoren in $V$ , die miteinander in der Beziehung

(\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} w_{1} \\ ⋮ \\ w_{n} \end{matrix})

stehen, wobei $M$ eine $n \times n$ -Matrix bezeichnet.

Dann gilt in $\overset{n}{⋀} V$ die Beziehung

$v_{1} \land \dots \land v_{n} = (det M) w_{1} \land \dots \land w_{n} .$

Beweis

Mit $M = (b_{j k})$ ist $v_{j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{j k} w_{k}$ und mit der transponierten Matrix $M^{tr} = (a_{i j})$ ist $v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} w_{i}$ . Damit sind wir in der Notation von Lemma 57.5 (4) und es gilt

\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{n} & = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq n} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j}) w_{i_{1}} \land \dots \land w_{i_{n}} \\ = \sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{π (j) j} w_{1} \land \dots \land w_{n}, \end{matrix}

da dann $i_{j} = j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.

◻

Die universelle Eigenschaft des Dachproduktes

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ . Es sei

ψ : V^{n} ⟶ W

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$ -Vektorraum $W$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\tilde{ψ} : \overset{n}{⋀} V ⟶ W$

derart, dass das Diagramm

$\begin{matrix} V^{n} & \overset{}{⟶} & \overset{n}{⋀} V \\ ↘ & ↓ \\ W \end{matrix}$

kommutiert.

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 57.3. Durch die Zuordnung

e_{(v_{1}, \dots, v_{n})} ⟼ ψ (v_{1}, \dots, v_{n})

wird nach Satz 10.10 eine $K$ -lineare Abbildung

\bar{ψ} : H ⟶ W

definiert. Da $ψ$ multilinear und alternierend ist, wird unter $\bar{ψ}$ der Untervektorraum $U \subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Satz 48.7 gibt es daher eine $K$ -lineare Abbildung

\tilde{ψ} : H / U ⟶ W,

die mit $\bar{ψ}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\overset{n}{⋀} V$ bilden und diese auf $ψ (v_{1}, \dots, v_{n})$ abgebildet werden müssen.

◻

Es bezeichne ${Alt}^{n} (V, W)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von $V^{n}$ nach $W$ . Diese Menge kann man mit einer natürlichen $K$ -Vektorraumstruktur versehen, siehe Aufgabe 16.28.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und $n \in ℕ$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${Hom}_{K} (\overset{n}{⋀} V, W) ⟶ {Alt}^{n} (V, W), ψ ⟼ ((v_{1}, \dots, v_{n}) \mapsto ψ (v_{1} \land \dots \land v_{n})) .$

Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung $ψ \mapsto ψ \circ δ$ , wobei $δ : V \times \dots \times V \to \overset{n}{⋀} V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Homomorphismenraumes und des Raumes der alternierenden Abbildungen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Satz 57.7.

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${(\overset{n}{⋀} V)}^{*} ⟶ {Alt}^{n} (V, K), ψ ⟼ ((v_{1}, \dots, v_{n}) \mapsto ψ (v_{1} \land \dots \land v_{n})) .$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Korollar 57.8.

◻

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum und $k \in ℕ_{+}$ .

Dann gibt es eine kanonische surjektive lineare Abbildung

$V \otimes_{} \dots \otimes_{} V ⟶ V \land \dots \land V, v_{1} \otimes_{} \dots \otimes_{} v_{k} ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{k} .$

Beweis

Dies ergibt sich aus der alternierenden Abbildung

V^{k} ⟶ \overset{k}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{k}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{k},

gemäß Satz 55.4 (2). Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem $v_{1} \land \dots \land v_{k}$ im Bild liegt.

◻

Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ergibt sich aus der vorstehenden Aussage und Korollar 55.13, dass das Dachprodukt endliche Dimension besitzt. Diese werden wir in der letzten Vorlesung bestimmen.

Fußnoten

↑ Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ bzw. $\land$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ das von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ erzeugte „orientierte“ Parallelotop in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt $\overset{n}{⋀} V$ besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.
↑ Es gilt die Klammerungskonvention „Dachprodukt vor Punktrechnung“, d.h. der Ausdruck $a v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ist als $a (v_{1} \land \dots \land v_{n})$ zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
$a (v_{1} \land \dots \land v_{n}) = (a v_{1}) \land \dots \land v_{n} = v_{1} \land \dots \land (a v_{n}) .$

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[1] Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ bzw. $\land$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ das von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ erzeugte „orientierte“ Parallelotop in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt $\overset{n}{⋀} V$ besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.

[2] Es gilt die Klammerungskonvention „Dachprodukt vor Punktrechnung“, d.h. der Ausdruck $a v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ist als $a (v_{1} \land \dots \land v_{n})$ zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
$a (v_{1} \land \dots \land v_{n}) = (a v_{1}) \land \dots \land v_{n} = v_{1} \land \dots \land (a v_{n}) .$

[1]

[2]