Kurs:Maß- und Integrationstheorie/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	7	5	3	3	7	4	6	9	5	5	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Dynkin-System auf einer Menge ${}M$.
2. Eine messbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen zwei Messräumen ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$.

3. Das Borel-Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$.
4. Eine Ausschöpfung einer Menge ${}M$.
5. Eine in einem Punkt ${}x\in X$ gleichgradig stetige Teilmenge ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$, wobei ${}X$ einen topologischen und ${}Z$ einen metrischen Raum bezeichnet.
6. Das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom ${}T_{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Produktsatz für Maße.
2. Der Satz von der majorisierten Konvergenz (oder Satz von Lebesgue).
3. Die Besselsche Abschätzung in einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Eindeutigkeitssatz für Maße.

Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel die Länge ${}1$ haben, und die durch den inneren Winkel ${}\alpha \in ]0,\pi [$ an der Spitze gegeben sind.

1. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen gleichschenkligen Dreieckes in Abhängigkeit von ${}\alpha$.
2. Für welche Winkel ${}\alpha$ ist der Flächeninhalt maximal oder minimal?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine integrierbare Funktion. Zeige, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,$

ist

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M\times N$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}T$ die obere Einheitskreishälfte und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}y+xy^{3}.$

Berechne ${}\int _{T}fd\lambda ^{2}$.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ mit einer reellen Zahl aus ${}[c,d]$ multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus ${}[a,b]$ durch eine reelle Zahl aus ${}[c,d]$ (${}c>0$) dividiert?

Aufgabe * (9 (1+4+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y,\,x(y+1)\right).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht injektiv ist.
2. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{<-1}$ injektiv ist.
3. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
4. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$. Welches geometrische Gebilde bilden diese?
5. Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes

   ${}Q=[-1,1]\times [-3,-2]\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass ein metrischer Raum genau dann eine abzählbare Basis der Topologie besitzt, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein offenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche ohne den Rand) mit Seitenlänge ${}2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius ${}1$, mit denen man ${}T$ überdecken kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Fourierreihen zu den Funktionen ${}e^{{\mathrm {i} }mt}$, ${}m\in \mathbb {Z}$, wenn man sie auf ${}[0,\pi ]$ auffasst.