Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt

Unter den periodischen Funktionen spielen die trigonometrischen Funktionen $\cos x$ und $\sin x$ bzw. die komplexe Exponentialfunktion $e^{i z}$ eine besondere Rolle, die die Periode $2 π$ haben. Neben diesen enthält man weitere periodische Funktionen, indem man das Argument $x$ bzw. $z$ durch ganzzahlige Vielfache $n x$ bzw. $n z$ ersetzt. Diese haben die kleineren Perioden $\frac{2 π}{n}$ , aber $2 π$ bleibt eine Periode. Im Rahmen der Fourieranalysis (man spricht auch von harmonischer Analysis) möchte man periodische Funktionen als Reihen von trigonometrischen Funktionen darstellen. Eine periodische Funktion mit Periode $T$ ist vollständig bestimmt durch ihren Verlauf auf dem Intervall $[0, T [$ . Wir arbeiten im Kontext von Hilberträumen und insbesondere in $L^{2} ([0, T])$ , der Übergang vom halboffenen zum abgeschlossen Intervall ist für diesen Funktionenraum unerheblich. Besonders wichtig sind die Periodenlängen $1$ und $2 π$ , wir werden zumeist eine beliebige Periodenlänge $T$ zulassen und dann $ω = \frac{2 π}{T}$ setzen.

Die Funktionen $e^{\frac{2 π}{T} i n t}$ sind auf $[0, T]$ quadratintegrierbar, wie sofort aus der Beschränktheit folgt. Daher sichert Fakt, dass die folgenden Definitionen sinnvoll sind. Insbesondere kann man sie auf messbare beschränkte periodische Funktionen und auf stückweise stetige Funktionen auf $[0, T]$ anwenden.

Definition

Es sei $T > 0$ und sei $f : ℝ \to ℂ$ eine auf $[0, T]$ quadratintegrierbare $T$ -periodische Funktion. Dann nennt man (zu $n \in ℤ$ )

c_{n} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) e^{- \frac{2 π i}{T} n t} d t

den $n$ -ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.

Bis auf den Vorfaktor ist dieser Koeffizient gleich dem $L^{2}$ -Skalarprodukt $⟨ f, e^{\frac{2 π}{T} n t} ⟩ = \int_{0}^{T} f (t) e^{- \frac{2 π}{T} n t} d t$ .

Definition

Es sei $T > 0$ und sei $f : ℝ \to ℂ$ eine auf $[0, T]$ quadratintegrierbare $T$ -periodische Funktion. Dann nennt man (zu $n \in ℕ$ bzw. $n \in ℕ_{+}$ für die $b$ -Koeffizienten)

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \cos (\frac{2 π}{T} n t) d t

und

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \sin (\frac{2 π}{T} n t) d t

die $n$ -ten (reellen) Fourierkoeffizienten.

Nur wenn $f$ reellwertig ist sind die Koeffizienten $a_{n}$ bzw. $b_{n}$ reell, die Koeffizienten $c_{n}$ sind auch in diesem Fall nicht reell.

Lemma

Es sei $T > 0$ und sei $f : ℝ \to ℂ$ eine auf $[0, T]$ quadratintegrierbare $T$ -periodische Funktion.

Dann besteht zwischen den reellen und den komplexen Fourierkoeffizienten von $f$ die Beziehungen

$c_{0} = \frac{a_{0}}{2},$

$c_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} - i b_{n}),$

$c_{- n} = \frac{1}{2} (a_{n} + i b_{n}),$

$a_{0} = 2 c_{0},$

$a_{n} = c_{n} + c_{- n},$

$b_{n} = i (c_{n} - c_{- n}) .$

Beweis

Unter Verwendung von Fakt (1) ist

\begin{matrix} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) e^{- \frac{2 π i}{T} n t} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) (\cos (- \frac{2 π}{T} n t) + i \sin (- \frac{2 π}{T} n t)) d t \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) \cos (- \frac{2 π}{T} n t) d t + \frac{i}{T} \int_{0}^{T} f (t) \sin (- \frac{2 π}{T} n t) d t \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) \cos (\frac{2 π}{T} n t) d t - \frac{i}{T} \int_{0}^{T} f (t) \sin (\frac{2 π}{T} n t) d t . \end{matrix}

Bei $n \geq 0$ ist dies $\frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} i b_{n}$ , bei $n < 0$ muss man zum Negativen übergehen und noch einmal Fakt (3) verwenden.

◻

Lemma

Es sei $T > 0$ und $ω = \frac{2 π}{T}$ .

Dann bildet die Familie

$f_{n} = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i n x}$

zu $n \in ℤ$ ein Orthonormalsystem im Hilbertraum $L^{2} ([0, T], ℂ)$ .

Beweis

Es ist

\begin{matrix} ⟨ f_{m}, f_{n} ⟩ & = \int_{0}^{T} f_{m} \overline{f_{n}} d x \\ = \int_{0}^{T} \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i m x} \frac{1}{\sqrt{T}} \overline{e^{ω i n x}} d x \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{ω i m x} e^{- ω i n x} d x \\ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{ω i (m - n) x} d x . \end{matrix}

Bei $m = n$ ist dies

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{0} d x = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} 1 d x = 1 .

Bei $m \neq n$ ist dies

\begin{matrix} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{ω i (m - n) x} d x & = \frac{1}{T ω i (m - n)} (e^{ω i (m - n) x}) |_{0}^{T} \\ = \frac{1}{2 π i (m - n)} (e^{T ω i (m - n)} - e^{0}) \\ = \frac{1}{2 π i (m - n)} (e^{2 π i (m - n)} - e^{0}) \\ = \frac{1}{2 π i (m - n)} (1 - 1) \\ = 0. \end{matrix}

◻

Lemma

Es sei $T > 0$ und $ω = \frac{2 π}{T}$ .

Dann besteht die von den

$f_{n} = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i n x}$

zu $n \in ℤ$ erzeugte $ℂ$ -Algebra aus allen endlichen Summen $\sum_{n} r_{n} f_{n}$ .

Diese Algebra enthält mit jeder Funktion auch ihre komplex-konjugierte Funktion und trennt die Punkte aus $[0, T [$ .

Beweis

Wegen

f_{m} f_{n} = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i m x} \cdot \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i n x} = \frac{1}{T} e^{ω i (m + n) x}

ist die Familie (bis auf den skalaren Vorfaktor) unter Multiplikation abgeschlossen. Daher sind die endlichen Linearkombinationen der $f_{n}$ auch multiplikativ abgeschlossen und bilden eine $ℂ$ -Algebra, der Fall $n = 0$ sichert, dass auch die Konstanten dazu gehören. Wegen

\overline{f_{n}} = f_{- n}

ist die Algebra auch unter komplexer Konjugation abgeschlossen. Die Trennung ist allein schon durch die Funktion $e^{i ω x}$ gesichert.

◻

Ausdrücke der Form

\sum_{n} r_{n} f_{n} = \sum_{n} \frac{r_{n}}{\sqrt{T}} e^{ω i n z}

zu einer endlichem Indexmenge nennt man auch trigonometrische Polynome. Zumeist schreibt man sie als $\sum_{n = - N}^{N} \frac{r_{n}}{\sqrt{T}} e^{ω i n z}$ .

Satz

Es sei $T > 0$ und $ω = \frac{2 π}{T}$ .

Dann bildet die Familie

$f_{n} = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i n x}$

zu $n \in ℤ$ ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum $L^{2} ([0, T], ℂ)$ .

Beweis

Die Orthonormalitätsrelationen wurden in Fakt gezeigt. Nach Fakt ist die von den $e^{ω i n x}$ erzeugte Algebra punktetrennend und stimmt mit dem erzeugten Vektorraum überein. Nach dem komplexen Satz von Stone-Weierstrass gibt es zu jeder stetigen Funktion

h : [0, T] ⟶ ℂ

und jedem $ϵ > 0$ ein trigonometrisches Polynom $p$ mit

| h (x) - p (x) | \leq ϵ

für alle $x$ . Die entsprechende Approximationseigenschaft gilt dann auch in der $L^{2}$ -Norm. Die beschriebene Algebra ist also dicht in $C ([0, T], ℂ) \subseteq L^{2} ([0, T], ℂ)$ . Nach Fakt ist die Algebra dann auch dicht in $L^{2} ([0, T], ℂ)$ .

◻

Aus Fakt folgt mit Fakt, dass jede quadratintegrierbare Funktion

f : [0, T] ⟶ ℂ

eine konvergente Darstellung

f = \sum_{n \in ℤ} ⟨ f_{n}, \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i n t} ⟩ \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i n t}

besitzt, die Konvergenz ist dabei im Sinne der $L^{2}$ -Norm zu verstehen. Im Allgemeinen liegt keine punktweise Konvergenz vor. Es ist

\begin{matrix} ⟨ f_{n}, \frac{1}{\sqrt{T}} e^{ω i n t} ⟩ & = \int_{0}^{T} f (t) \frac{1}{\sqrt{T}} e^{- ω i n t} d t \\ = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{0}^{T} f (t) e^{- ω i n t} d t \end{matrix}

und somit

f = \sum_{n \in ℤ} \frac{1}{T} (\int_{0}^{T} f (t) e^{- ω i n t} d t) e^{ω i n t} = \sum_{n \in ℤ} c_{n} e^{ω i n t}

mit den komplexen Fourierkoeffizienten $c_{n}$ . Diese beziehen sich also nicht unmittelbar auf das Orthonormalsystem, sondern auf eine skalierte Version davon. Die Darstellung $\sum_{n \in ℤ} c_{n} e^{i n ω t}$ nennt man die Fourierreihe zu $f$ , auch wenn über $ℤ$ aufsummiert wird. Man spricht auch von der Fourierentwicklung. Die Umformung

\begin{matrix} \sum_{n \in ℤ} c_{n} e^{ω i n t} & = c_{0} + \sum_{n \in ℕ_{+}} (c_{n} e^{ω i n t} + c_{- n} e^{- ω i n t}) \\ = c_{0} + \sum_{n \in ℕ_{+}} (c_{n} (\cos ω n t + i \sin ω n t) + c_{- n} (\cos ω n t - i \sin ω n t)) \\ = c_{0} + \sum_{n \in ℕ_{+}} ((c_{n} + c_{- n}) \cos ω n t + i (c_{n} - c_{- n}) \sin ω n t) \\ = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n \in ℕ_{+}} a_{n} \cos ω n t + b_{n} \sin ω n t \end{matrix}

unter Verwendung von Fakt ergibt die Darstellung mit den reellen Koeffizienten.