Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen

Einführung

Als Voraussetzung zu dieser Lerneinheit sollten Sie sich zunächst mit Netzen und Konvergenz befassen, die eine Verallgemeinerung des Folgenbegriffs in $\mathbb {R}$ bzw. allgemeiner topologischen Räumen mit abzählbarer Umgebungsbasis dargestellt.

Stetigkeit - Konvergenz über Netze

Seien $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ und $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ zwei topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung und $x_{0}\in X$ . Die Funktion $f$ heißt stetig in $x_{o}\in X$ , wenn für alle Netze $(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}$ , die in $X$ gegen $x_{o}$ konvergieren auch das Bildnetz $(f(x_{i}))_{i\in I}\in Y_{I}$ gegen $f(x_{o})\in Y$ konvergiert:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\lim _{x_{i}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{X}}{\longrightarrow }}x_{o}}}}f(x_{i})=f(x_{0})\,&:\Longleftrightarrow &\forall _{(x_{i})_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{X}}{\longrightarrow }}x_{0}}\,:\,(f(x_{i}))_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\longrightarrow }}f(x_{0})\\(f(x_{i}))_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\longrightarrow }}f(x_{0})&\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\ \succcurlyeq i_{U}}:\,f(x_{i})\in U\\\end{array}}

Dabei bezeichnet " $\succcurlyeq$ " in " $i\succcurlyeq i_{U}$ " die partielle Ordnung auf der Indexmenge $I$ .

Satz - Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume

Seien $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ und $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ zwei topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung und $x_{0}\in X$ . Die Funktion $f$ ist genau dann stetig in $x_{o}\in X$ , wenn gilt

\forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }

Bemerkung - Strukturgleichheit Epsilon-Delta-Kriterium

Diese Strukturgleichheit wird nun noch einmal vergleichend für topologische Räume betrachtet.

Analysis

In der Analysis ist das

\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,|x-x_{o}|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x_{o})|<\varepsilon

Normierte Räume

In normierten Räumen ersetzt man den Betrag durch eine Norm $\|\cdot \|_{\mathbb {D} }$ auf dem Definitionsbereich und eine Norm $\|\cdot \|_{\mathbb {W} }$ auf dem Wertebereich der Funktion

\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,\|x-x_{o}\|_{\mathbb {D} }<\delta \Longrightarrow \|f(x)-f(x_{o})\|_{\mathbb {W} }<\varepsilon

Metrischen Räume

In metrischen Räumen kann man den Abstand zwischen zwei Elementen im Raum messen. Der Ausdruck $\|x-x_{o}\|_{\mathbb {D} }$ entspricht dem Abstand zwischen $x$ und $x_{o}$ und drückt diesen durch eine Metrik über $d_{\mathbb {D} }(x,x_{o})$ auf dem Definitionsbereich. Mit einer weiteren Metrik $d_{\mathbb {W} }$ auf dem Wertebereich der Funktion kann man die Stetigkeit wie folgt formulieren:

\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,d_{\mathbb {D} }(x,x_{o})<\delta \Longrightarrow d_{\mathbb {W} }(f(x),f(x_{o}))<\varepsilon

Topologische Räume

Verallgemeinert man den Ansatz auf topologische Räume drückt man die $d_{\mathbb {D} }(x,x_{o})<\delta$ dann durch $x\in U_{\delta }$ ausgedrückt, wobei $x$ in einer Umgebung $U_{\delta }$ von $x_{o}$ liegt. Dadurch erhält man die Aussage analog zu metrischen Räume auch auf topologischen Räumen für Umgebungen.

\forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }

Beweis - Epsilon-Delta-Kriterium für TR

Der Beweis gliedert sich in zwei Implikationen

(R1) $f:X\to Y$ ist stetig in $x_{o}$ nach Definition, dann gilt das $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium für topologische Räume
(R2) das $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium für topologische Räume gilt und man zeigt, dass $f:X\to Y$ stetig in $x_{o}$ nach Definition ist.

Beweisrichtung (R1)

Sei $f:X\to Y$ stetig in $x_{o}$ nach Definition. Dann gilt das $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium für topologische Räume. Unsere Indexmenge $I:={\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})$ mit der partiellen Ordnung:

U_{1}\succcurlyeq U_{2}:\Longleftrightarrow U_{1}\subseteq U_{2}

.

Ohne Einschränkung seien die Netze $(x_{U})_{U\in I}$ so gewählt, dass $x_{U}\in U$ . Damit konvergieren diese Netze $(x_{U})_{U\in I}$ mit einem beliebigen $x_{U}\in U$ alle gegen $x_{o}\in X$ .

Beweisschritt (R1.1)

Sei nun $U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))$ beliebig gewählt. Da die oben definierten Netze $(x_{U})_{U\in I}$ mit $x_{U}\in U$ alle gegen $x_{o}\in X$ konvergieren, konvergiert mit der Definition der Stetigkeit auch das Bildnetz $(f(x_{U}))_{U\in I}$ in $Y$ gegen $f(x_{o})\in Y$ .

Beweisschritt (R1.2)

Wegen der Konvergenz des Bildnetzes $(f(x_{U}))_{U\in I}$ in $Y$ gegen $f(x_{o})\in Y$ gibt es eine Indexschranke $U_{\delta }\in I$ , ab der für alle

U\succcurlyeq U_{\delta }\Longleftrightarrow U\subseteq U_{\delta }

gilt:

f(x_{U})\in U_{\varepsilon }

Beweisschritt (R1.3)

Da die Elemente $x_{U}$ der Netze $(x_{U})_{U\in I}$ beliebig aus $U$ gewählt werden konnten (d.h. $x_{U}\in U$ gilt) und für einen größeren Index $U\succcurlyeq U_{\delta }\Longleftrightarrow U\subseteq U_{\delta }$ auch $x_{U}\in U\subseteq U_{\delta }$ gilt, erhält man: $\forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }$ Damit gilt das $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium.

Beweisrichtung (R2)

Sei $(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}$ ein Netz, das in $X$ gegen $x_{o}$ konvergiert. Es ist nun zu zeigen, dass bei gültigem $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium für topologische Räume auch das Bildnetz $(f(x_{i}))_{i\in I}\in Y_{I}$ gegen $f(x_{o})\in Y$ konvergiert.

Beweisschritt (R2.1)

Um die folgende Aussage

{\begin{array}{rcl}(f(x_{i}))_{i\in I}{\stackrel {{\mathcal {T}}_{Y}}{\longrightarrow }}f(x_{0})&\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\ \succcurlyeq i_{U}}:\,f(x_{i})\in U\\\end{array}}

zu zeigen, sei nun $U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))$ beliebig gewählt.

Beweisschritt (R2.2)

Mit dem $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium für topologische Räume gibt nun ein $U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{0})$ , sodass für alle $x\in U_{\delta }$ auch gilt, dass $f(x)\in U_{\varepsilon }$ .

Beweisschritt (R2.3)

Mit der Konvergenz von $(x_{i})_{i\in I}\in X_{I}$ gegen $x_{o}$ , gibt es eine Indexschranke $i_{U_{\delta }}$ , sodass für alle $i\succcurlyeq i_{U_{\delta }}$ $x_{i}\in U_{\delta }$ erfüllt ist. Damit gilt dann auch mit ab der Indexschranke $i_{U_{\delta }}$ mit $i\succcurlyeq i_{U_{\delta }}$ , dass $f(x_{i})\in U_{\varepsilon }$ erfüllt ist.

Beweisschritt (R2.4)

Insgesamt konvergiert mit dem $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium für topologische Räume auch das Bildnetz $(f(x_{i}))_{i\in I}$ gegen $f(x_{o})$ , da $U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))$ beliebig gewählt wurde. $q.e.d.$

Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume

Aus der Analysis ist das $\varepsilon -\delta$ -Kriterium für die Stetigkeit in eine Punkt $x_{0}$ bekannt. Die obige Aussage ist ein Analogon dazu für topologische Räume. $\varepsilon$ und $\delta$ als positive Zahlen machen in topologischen Räumen natürlich keinen Sinn. Die Bezeichnung dient lediglich dazu die analoge Struktur der Aussagen für eine in $x_{o}$ stetige Abbildung $f:\mathbb {D} \to \mathbb {R}$ aufzuzeigen.

\forall _{\varepsilon >0}\exists _{\delta >0}\forall _{x\in \mathbb {D} }\,:\,|x-x_{o}|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x_{o})|<\varepsilon

Stetigkeitsatz - Urbilder offener Mengen

Seien $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ und $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ zwei topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung. $f$ ist genau dann stetig in jedem Punkt $x_{0}\in X$ , wenn die Urbilder von offenen Mengen in $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ wieder eine offene Menge in $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ .

f{\mbox{ stetig }}\Longleftrightarrow \forall _{U\in {\mathcal {T}}_{Y}}\,:\,f^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}_{X}

Bemerkung - Stetigkeit der Abbildung und Stetigkeit in einem Punkt

Normalerweise müsste man für die Stetigkeit der Abbildung $f:X\to Y$ die Stetigkeit von $f$ in jedem Punkt $x_{o}\in X$ nachweisen und Stetigkeit in einem Punkt dann durch den Nachweis der definitierende Eigenschaft überprüfen. Der obige Stetigkeitssatz reduziert den Aufwand auf die Überprüfung, dass die Stetigkeit von $f$ äquivalent zur Eigenschaft ist, dass Urbilder offener Mengen in $Y$ wieder offen in $X$ sind.

Beweis - Urbilder offener Mengen

Der Beweis gliedert sich in zwei Implikationen:

(S1) Aus $f$ stetig im jedem Punkt $x_{o}\in X$ folgt, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind.
(S2) Wenn Urbilder offener Mengen immer offen in $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ ist, ist $f$ stetig im jedem Punkt $x_{o}\in X$ .

Beweisrichtung (S1)

Wir führen den Beweis für (S1) durch Widerspruch und nehmen an, dass ein Urbild $f^{-1}({\widehat {U}})$ einer offener Mengen ${\widehat {U}}\in {\mathcal {T}}_{Y}$ exisitiert, dass nicht offen ist, aber $f$ in jedem Punkt $x_{o}\in X$ stetig ist.

Beweisschritt (S1.1)

Wenn $U_{o}:=f^{-1}({\widehat {U}})$ nicht offen in $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ ist, besitzt $U_{o}\subset X$ in $X$ Randpunkt. Sei $x_{o}\in U_{o}$ ein Randpunkt von $U_{o}$ (d.h. $x_{o}\in \partial (U_{o})\cap U_{o}$ . Wegen $x\in U_{o}=f^{-1}({\widehat {U}})$ , liegt $f(x_{o})\in {\widehat {U}}$ in einer offenen Menge.

Beweisschritt (S1.2)

Für Randpunkte einer Menge gilt, dass jede Umgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})$ Elemente aus dem Komplement von $U_{o}$ , denn wenn es eine Umgebung von $x\in U_{o}=f^{-1}({\widehat {U}})$ existiert, die ganz in $U_{o}$ liegt, wäre $x_{o}\in U_{o}$ ein innerer Punkt und kein Randpunkt von $U_{o}$ . Nun konstruiert man ein Netz, das gegen $x_{o}$ konvergiert, dessen Bildnetz aber nicht gegen $f(x_{o})$ konvergieren kann.

Beweisschritt (S1.3)

Als Indexmenge des Netzes verwendet man $I:={\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})$ mit der partiellen Ordnung:

U_{1}\succcurlyeq U_{2}:\Longleftrightarrow U_{1}\subseteq U_{2}

.

Für jede Umgebung $U_{1}\in I$ wählen wir $x_{U_{1}}\in (U_{o}^{c}\cap U_{1})$ . Dabei geht ein, dass jede Umgebung um einen Randpunkt einer Menge, Element aus dem Komplement $U_{o}^{c}:=X\setminus U_{o}$ der Menge enthält für jedes $U_{1}\in I$ existiert ein $x_{U_{1}}\in X$ .

Beweisschritt (S1.4)

Wegen $x_{U_{1}}\in U_{1}$ konvergiert das Netz $(x_{_{U_{1}}})_{U_{1}\in I}$ gegen $x_{o}$ . Wegen $x_{_{U_{1}}}\in U_{o}^{c}$ gilt, $f(x_{_{U_{1}}})\notin {\widehat {U}}\subset Y$ . Damit konvergiert das Bildnetz $\left(f(x_{_{U_{1}}})\right)_{U_{1}\in I}$ nicht gegen $f(x_{o})\in Y$ , weil $f(x_{o})\in {\widehat {U}}\in {\mathcal {T}}_{Y}$ ist und damit ist auch ${\widehat {U}}\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{o}))$ eine Umgebung von $f(x_{o})$ .

Beweisschritt (S1.5)

Bei einer Konvergenz von $\left(f(x_{_{U_{1}}})\right)_{U_{1}\in I}$ gegen $f(x_{o})$ muss aber auch für ${\widehat {U}}$ eine Indexschranke $U_{2}\in I$ des Netzes geben, aber der für $U_{1}\succcurlyeq U_{2}$ alle Elemente $f(x_{_{U_{1}}})$ des Netzes auch in ${\widehat {U}}$ liegen. Damit ist $f$ nicht stetig in $x_{o}$ , was ein Widerspruch zur Annahme war.

Beweisrichtung (S2)

Seien nun Urbilder offener Mengen unter $f:X\to Y$ wieder offen. Es gilt also:

$U_{\delta }:=f^{-1}(U_{\varepsilon })\in {\mathcal {T}}_{X}$ für alle $U_{\varepsilon }\in {\mathcal {T}}_{Y}$

Ferner sei $x_{o}\in X$ beliebig gewählt und das Netz $(x_{i})_{i\in I}$ sei so gewählt, das es gegen $x_{o}\in X$ konvergiert. Zu zeigen ist nun, dass das Bildnetz $(f(x_{i}))_{i\in I}$ in $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ gegen $f(x_{o})\in Y$ konvergiert.

Beweisschritt (S2.1)

Wähle nun eine beliebige offene Menge $U\varepsilon \in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {U}}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(f(x_{0}))$ . Man muss nun eine Indexschranke $i_{\epsilon }$ finden, ab der für alle $i\succcurlyeq i_{\varepsilon }$ gilt, dass $f(x_{i})\in U_{\varepsilon }$ .

Beweisschritt (S2.2)

Da Urbilder offener Menge offen sind, gilt:

x_{o}\in U_{\delta }:=f^{-1}(U_{\varepsilon })\in {\stackrel {\circ }{\mathfrak {U}}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o}),

Beweisschritt (S2.3)

Da das Netz $(x_{i})_{i\in I}$ nach Vorraussetzung so gewählt war, das es gegen $x_{o}\in X$ konvergiert, gibt es eine Indexschranke $i_{\delta }\in I$ , ab der für $i\succcurlyeq i_{\delta }$ , dass $x_{i}\in U_{\delta }$ . Wähle dann das gesuchte $i_{\varepsilon }:=i_{\delta }$ , denn dann erhält man:

f(x_{i})\in f(U_{\delta })=f(f^{-1}(U_{\varepsilon }))=U_{\varepsilon }

q.e.d.

Bemerkung

Da eine Topologie über Menge definiert wird, sind mengentheoretische Formulierung für die Stetigkeit in Regel für die Beweisführung besser geeignet als Netze. Einen ähnlichen Ansatz geht man mit Filtern, die ebenfalls als Mengensystem formuliert sind und die Konvergenz von Filter über die Teilmengenbeziehung zur Menge der Umgebungen von $x_{o}$ formuliert wird - d.h. dass ein Filter konvergiert, wenn dieser feiner als der Umgebungsfilter ist.

Beweisalternative für Beweisrichtung S2

In der Beweisalternative verwendet man die Negation der Aussage (S2) und führt diese zum Widerspruch. Die Negation von (S2) lautet: $\neg (S2)$ $f$ stetig ist nicht in jedem Punkt $x_{o}\in X$ und die Urbilder offener Mengen wieder offen.

Beweisschritt (S2.1) - Alternative

Wenn $f$ in $x_{o}\in X$ nicht stetig ist, gibt es ein Netz $(x_{i})_{i\in I}$ , das gegen $x_{o}\in X$ konvergiert und eine Umgebung $U_{\varepsilon }$ von $f(x_{o})\in Y$ , wobei für jeden Index $i\in I$ ein weiterer Index $k(i)\succcurlyeq i$ ) exisitiert, für den $f(x_{k(i)})$ nicht in $U_{\varepsilon }$ liegt (d.h. $f(x_{k(i)})\notin U_{\varepsilon }$ ).

Beweisschritt (S2.2) - Alternative

Da Urbilder von offenen Menge $U\in$ wieder offen in $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ sind, gilt u.a.

U_{\delta }:=f^{-1}(U_{\varepsilon })\in {\mathcal {T}}_{X}

Weil $f(x_{o})\in U_{\varepsilon }$ gilt, erhält man auch $x_{o}\in U_{\delta }$ . Damit ist $U_{\delta }$ auch eine Umgebung von $x_{o}\in X$ .

Beweisschritt (S2.3) - Alternative

Da das Netz $(x_{i})_{i\in I}$ gegen $x_{o}\in X$ konvergiert, gibt es zu $U_{\delta }$ eine Indexschranke $i_{\delta }\in I$ , ab der mit $i\succ i_{\delta }$ dann $x_{i}\in U_{\delta }$ gilt. Damit gilt aber auch, dass

f(x_{i})\in f(U_{\delta })=U_{\varepsilon },

was ein Widerspruch zu Annahme war, dass für eine jeden Index $i\in I$ ein größerer Index $k(i)\in I$ existiert, für den $f(x_{k(i)})\notin U_{\varepsilon }$ liegt.

Aufgabe

Sei ${\mathcal {T}}_{\mathbb {R} }$ die durch den Betrag $|\cdot |$ auf $X:=\mathbb {R}$ definierten euklidischen Topologie. Ferner sei ${\mathcal {T}}_{0}:=\{\emptyset ,\mathbb {R} \}$ die chaotische Topologie auf $X:=Y:=\mathbb {R}$ und ${\mathcal {T}}_{1}$ die diskrete Topologie, bei der jede Teilmenge von $X$ offen ist. Wir betrachten nun die Identität $f:X\to Y$ mit $f(x)=x$ für alle $x\in \mathbb {R}$ . Obwolh $X=Y=\mathbb {R}$ gilt, versehen wir den Definitionsbereich mit unterschiedlichen Topologien. Überprüfen Sie, ob die Abbildung stetig ist oder nicht.

Ist die Abbildung mit $(X,{\mathcal {T}}_{1})$ und $(Y,{\mathcal {T}}_{\mathbb {R} })$ stetig?
Ist die Abbildung mit $(X,{\mathcal {T}}_{\mathbb {R} })$ und $(Y,{\mathcal {T}}_{1})$ stetig?
Ist die Abbildung mit $(X,{\mathcal {T}}_{0})$ und $(Y,{\mathcal {T}}_{1})$ stetig?
Ist die Abbildung mit $(X,{\mathcal {T}}_{1})$ und $(Y,{\mathcal {T}}_{0})$ stetig?