Netze (Mathematik)

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Einführung Netze[Bearbeiten]

Für die Verallgemeinerung der Sätze braucht man ein allgemeineres Konzept der Konvergenz. Im Folgenden sollen zwei solcher Konzepte vorgestellt werden. Das erste ist das Konzept des Netzes, das man auch Moore-Smith Folge nennt. Ein alternatives Vorgehen bietet die Erweiterung des Folgenbegriffes durch Filter.

Definition: gerichtete Menge[Bearbeiten]

Eine Menge zusammen mit einer Relation heißt gerichtet, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • es gilt für alle (Reflexivität)
  • wenn und gilt, dann ist auch (Transitivität)
  • zu je zwei Elementen gibt es ein Element mit und .

Bemerkung: Netz und gerichtete Menge[Bearbeiten]

Den Begriff des Netzes zusammen mit einer gerichteten Menge als Indexmenge des Netzes kann man sich auch als topologisches Netz vorstellen. In der Abbildung wird ein Knoten N1 als Bezugsknoten ausgewählt. In dem dargestellten Netz sind die grünen Verbindungen Teilbereiche des Netzes, die größer sind als N1, und über die roten Verbindungen sind Teilbereiche des Netzes gekennzeichnet, die kleiner sind als N1. Die Knoten N12 und N13 stehen in keiner -Beziehung von N1.

Veranschaulichung: Netz[Bearbeiten]

Der rot markierte Bereich der Verbindungen im Netz markiert die Verbindung zu kleineren Elementen zu und die grün markierten Verbindungen zu größeren Elementen.

Gerichtete Menge und Netz

und steht in keiner - bzw. -Beziehung zu .

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung ist gerichtet.
  • Die reellen Zahlen mit der üblichen Ordnung sind ebenfalls gerichtet.

Definition: Netz[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge. Ein Netz in ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge in die Menge .

Bemerkung: Indexmenge[Bearbeiten]

  • Die Abbildung aus der vorstehenden Definition ist eine Vorschrift, die jedem Element einen Wert zuordnet.
  • Man kann daher die gerichtete Menge als Indexmenge auffassen und schreibt für das Netz auch .

Schreibweise[Bearbeiten]

Aus dieser Schreibweise wird auch ersichtlich, warum wir den gerichteten Mengen den Namen gegeben haben. Der Begriff Folge aus der Bezeichnung Moore-Smith Folge ist ebenfalls leichter ersichtlich.

Folgen als Netze[Bearbeiten]

Nimmt man die natürlichen Zahlen als gerichtete Menge, so ist ein Netz , oder in gewohnter Schreibweise , nichts anderes als eine Folge in .

Menge als Index[Bearbeiten]

Sei nun ein topologischer Raum, und die Menge aller Umgebungen von . Sei die Relation gegeben durch , wenn gilt. Dann ist eine gerichtete Menge. Wählt man für jede Umgebung von einen Punkt aus, so bildet die Familie ein Netz, das gegen konvergiert.

Konvergenz über Netze[Bearbeiten]

Sei eine topologischer Raum, und ein Netz in mit einer Indexmenge , die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über Netze wird wie folgt definiert:

Dabei bezeichnet "" in "" die partielle Ordnung auf der Indexmenge .

Bemerkung: konvergentes Netz[Bearbeiten]

Bei einem topologischen Raum und einem Netz muss die Definition der Konvergenz in Analogie zur Konvergenz in dafür sorgen, dass die Glieder des Netzes ab einer Indexschranke in eine -Umgebung liegen.

  • Im Allgemeinen hat man aber keinen normierten Raum vorliegen, in dem man z.B. über die Norm auch eine -Umgebung definieren kann.
  • Das Netz heißt konvergent gegen den Punkt , wenn es für jede Umgebung von ein gibt, so dass für alle mit .

Konvergenz für topologische Vektorräume[Bearbeiten]

Die Topologie von topologische Vektorräumen können über Gaugefunktionalsysteme (siehe Topologisierungslemma für Algebren). Für topologische Vektorräume entfällt lediglich die Submultiplikativität bei auf eine Algebra definierten Multiplikation.

Definition - Konvergenz über Gaugefunktionalsysteme[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Vektorraum mit dem basiserzeugenden System von Gaugefunktionalen . Die Konvergenzaussage für Netze in der Topologie wird über Gaugefunktionalsysteme wie folgt definiert.

Gaugefunktionale und partielle Ordnung[Bearbeiten]

Die Indexmengen der Netze werden in Abhängigkeit von der Indexmenge der Gaugefunktionale gewählt. ist dabei eine geeignete Wahl.

Definition - Partielle Ordnung auf der Indexmenge[Bearbeiten]

Die partielle Ordnung auf der Indexmenge ist dabei mit und wie folgt definiert:

Man beachte . Dies liegt an dem Zusammenhang, dass man für "kleinere" größere Indexschranken benötigt, damit für die Bedingung eingehalten werden kann.

Definition - Partielle Ordnung für Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Die Eigenschaft erlaubt auch eine Definition einer partiellen Ordnung für Gaugefunktionale.

Über das Maximum von zwei bzgl. der partiellen Ordnung nicht vergleichbare Gaugefunktionale erhält man ein dominierendes Gaugefunktional mit:

auch die Bedingung und .

Zusammenhang Filter und Netze[Bearbeiten]

In allgemeinen topologischen Räumen wird die Topologie durch das System von offenen Mengen definiert. Daher ist es naheliegend auch den Konvergenzbegriff mengentheoretisch zu beschreiben. Dies erfolgt über den Begriff eines Filters, der selbst wie die Topologie ein Mengensystem in dem Grundraum ist (d.h. ein Filter ist eine Teilmenge der Potenzmenge in einem topologischen Raum ).

Frechet-Filter[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum, und ein Netz in mit einer Indexmenge .

  • Dann fasst man zu jedem Index alle Elemente zu einer Menge zusammen, die bzgl. der partiellen Ordnung auf einen größeren Index haben (i.e. ).
  • Das Mengensystem ist eine Filterbasis,
  • Der zugehörige erzeugte Filter nennt man Frechet-Filter des Netzes .

Aufgabe für Studierende[Bearbeiten]

Betrachten Sie die unten stehenden Definitionen für Filter und weisen Sie nach, dass der Frechet-Filter die Eigenschaften (F1) und (F2) aus der Filterdefinition erfüllt.

Mengenfilter[Bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall eines Filters findet man in der Topologie mit den Mengenfiltern. Man geht in diesem Fall von der durch die Mengeninklusion definierten partiellen Ordnung (Halbordnung) auf der Potenzmenge auf einer beliebigen nichtleeren Menge aus. Auf dem Grundraum ist in der Regel eine Topologie definiert, die zum einem topologischen Raum macht.

Definition - Filter (Topologie)[Bearbeiten]

Eine echte Teilmenge ist genau dann ein Mengenfilter oder Filter, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  • (F1) und ,
  • (F2) (durchschnittstabil),
  • (F3) (obenmengenstabil).

Definition - Ultrafilter (Topologie)[Bearbeiten]

Ein Mengenfilter, für den gilt

,

heißt Ultrafilter.

Bemerkung - Ultrafilter[Bearbeiten]

Ein Ultrafilter ist also ein Mengensystem, bei dem jede Teilmenge zum Filter gehört oder das Komplement in dem Filter enthalten ist.[1]

Beispiele - Mengenfilter[Bearbeiten]

  • heißt der von erzeugte Hauptfilter.
  • Ist ein topologischer Raum mit Topologie , dann heißt Umgebungsfilter von .
  • Ist eine unendliche Menge, dann heißt Fréchet-Filter der Menge .

Definition - Filterbasis[Bearbeiten]

Ist ein nichtleeres Mengensystem von mit folgenden Eigenschaften

  • und
  • ,

so heißt Filterbasis in .

Definition - Erzeugter Filter einer Filterbasis[Bearbeiten]

Sei eine Filterbasis in . Das Mengensystem erzeugt auf natürliche Weise einen Filter

. Dieser heißt der von erzeugte Filter.

Bemerkung - Filterbasis - Obermengenstabilität[Bearbeiten]

Die Obermengenstabilität eines Mengenfilters (F3) fehlt bei der Definition der Filterbasis. Ein ähnliches Konzept nutzt man ohne größere topologische Überlegungen bereits in der Analysis, wenn man Konvergenz über -Umgebungen beschreibt. Streng genommen müsste man für den Konvergenznachweis einer Folge gegen für jede beliebige Umgebung von eine Indexschranke finden, ab der alle in mit liegen. Da die -Umgebungen eine Filterbasis der Umgebungsbasis von darstellen und jede Umgebung eine Menge aus der Filterbasis enthält, muss man die Konvergenz nur für -Umgebungen definieren.

Definition - Bildfilter[Bearbeiten]

Ist eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen und ein Filter auf , so bezeichnet den von der Filterbasis erzeugten Filter. Dieser heißt Bildfilter von .[2]

Anwendungen in der Topologie[Bearbeiten]

In der Topologie ersetzen Filter und Netze die dort für eine befriedigende Konvergenztheorie unzureichenden Folgen. Insbesondere die Filter als sich verengende Mengensysteme haben sich hier als gut geeignet zur Konvergenzmessung erwiesen.[3] Man erhält auf diesem Wege oft analoge Sätze zu Sätzen über Folgen in metrischen Räumen.

Definition - Konvergenz von Filtern[Bearbeiten]

Ist ein topologischer Raum, heißt ein Filter genau dann konvergent gegen ein , wenn , d.h., wenn feiner ist als der Umgebungsfilter von , d.h. alle (es genügen offene) Umgebungen von enthält. Schreibweise: Von der Verfeinerung von Zerlegungen spricht man besonders im Zusammenhang mit Integrationstheorien.

Bemerkung - Stetigkeit von Abbildungen[Bearbeiten]

So ist zum Beispiel eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn für jeden Filter mit gilt, dass .

Eindeutigkeit des Grenzwertes von Filtern[Bearbeiten]

In einem nicht-hausdorffschen Raum kann ein Filter gegen mehrere Punkte konvergieren. Hausdorff-Räume lassen sich sogar gerade dadurch charakterisieren, dass in ihnen kein Filter existiert, welcher gegen zwei verschiedene Punkte konvergiert.[4]

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellennachweise[Bearbeiten]

  1. Stefan Bold: AD und Superkompaktheit, Mathematisches Institut der Rheinischen Friedrich-Wilhelm-Universität Bonn, April 2002, Seite 2–3
  2. Analog für Ideale.
  3. Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 9.
  4. Schubert: Topologie. 1975, S. 44.

Seiten-Information[Bearbeiten]

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