Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Formelsammlung/kontrolle

Symbole und Konventionen

${}\mathbb {N}$ die natürlichen Zahlen mit ${}0$.

${}\mathbb {N} _{+}$ die positiven natürlichen Zahlen (ohne ${}0$).

Einige Stammfunktionen

Funktion	Stammfunktion	Bemerkung	Link
${}x^{n}$	${}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}$	${}n\in \mathbb {N}$
${}x^{n}$	${}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}$	${}x\neq 0$, ${}n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1$
${}x^{a}$	${}{\frac {1}{a+1}}x^{a+1}$	${}x\in \mathbb {R} _{+}$, ${}a\in \mathbb {R} ,\,a\neq -1$	${}\bullet$
${}x^{-1}$	${}\ln x$	${}x\in \mathbb {R} _{+}$	${}\bullet$
${}\ln x$	${}x\ln x-x$	${}x\in \mathbb {R} _{+}$	${}\bullet$
${}\exp x$	${}\exp x$		${}\bullet$
${}\sinh x$	${}\cosh x$
${}\cosh x$	${}\sinh x$
${}\sin x$	${}-\cos x$		${}\bullet$
${}\cos x$	${}\sin x$		${}\bullet$
${}\tan x$	${}-\ln(\cos x)$	${}x\in \mathbb {R} ,\,-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}$	${}\bullet$
${}{\frac {1}{x^{2}+1}}$	${}\arctan x$	${}x\in \mathbb {R}$	${}\bullet$
${}{\frac {1}{x^{2}+bx+c}}$	${}{\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}$	${}\triangle ={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0$	${}\bullet$
${}{\frac {1}{1-x^{2}}}$	${}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}={\frac {1}{2}}{\left(\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)\right)}$	${}x\in \mathbb {R} ,\,-1<x<1$	${}\bullet$
${}{\frac {1}{\cos ^{2}x}}$	${}\tan x$	${}x\in \mathbb {R} ,\,-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}$	${}\bullet$
${}{\sqrt {x^{2}-1}}$	${}{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {x^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}$	${}\vert {x}\vert \geq 1$	${}\bullet$ oder ${}\bullet$
${}{\sqrt {1-x^{2}}}$	${}{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x\right)}$	${}x\in \mathbb {R} ,\,-1<x<1$	${}\bullet$ oder ${}\bullet$
${}{\sqrt {x^{2}+1}}$	${}{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {x^{2}+1}}+\,\operatorname {arsinh} \,x\,\right)}$		${}\bullet$
${}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$	${}\,\operatorname {arsinh} \,x\,$		${}\bullet$
${}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$	${}\,\operatorname {arcosh} \,x\,$	${}\vert {x}\vert >1$	${}\bullet$
${}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	${}\arcsin x$	${}-1\leq x\leq 1$	${}\bullet$

Danke für die Hilfe. Leider weiß ich nicht, warum es bei zwei Termen nicht funktioniert.

Bitte so einsetzen, dann kann man einfach einen Latexfile produzieren.

$\int \arcsin {x}\,dx=x\,\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

${}\int \arccos {x}\,dx=x\,\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$ 
 

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left }

${}\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$ 
${}\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$ 
${}\int \tanh x\,dx=\ln$   
   
   
   

Rekursionsformeln

34.2 Es sei x2 + bx + c (mit b,c in R) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h. dass

${}\triangle ={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0$ 
ist).

Dann ist[3]

 ${}\int {\frac {1}{x^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\,\operatorname {arctan} \,{\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}(u+{\frac {b}{2}})\,$    

und für ${}n\geq 1$ gilt die Rekursionsformel

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^{n+1 }

dx = \frac{ 1 }{ n (4c-b^2) } \left( \frac{ 2u+b }{ (u^2+bu+c)^n } + (4n-2) \int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^n } dx \right) \,

|SZ= }}

34.3 Mit Lemma 34.2 kann man auch rationale Funktionen der Form

    ${}{\frac {rx+s}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}\,$ 

(mit r,s ${}\in \mathbb {R} ,\,r\neq 0,$ ) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear ist und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei n = 1 ist

   ${}({\frac {r}{2}}\,\operatorname {ln} \,(x^{2}+bx+c))'={\frac {r}{2}}\cdot {\frac {2x+b}{x^{2}+bx+c}}={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{x^{2}+bx+c}}\,$   .

D.h. dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ

   ${}{\frac {u}{x^{2}+bx+c}}\,$   

ist, was wir aufgrund von Lemma 34.2 integrieren können. Bei ${}n\geq 2$ ist

    ${}({\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{n-1}}})'={\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot (-n+1)\cdot (2x+b)\cdot {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}\,$ 

und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt.

Kommt nicht dran:

Summenformeln

 Arithmetische Reihen [Bearbeiten]

   \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} (Summe der ersten n natürlichen Zahlen, Der kleine Gauß)

   \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)-(m-1)m}{2} = \frac{(n+m)(n-m+1)}{2} (Summe eines Bereiches von m bis n natürlichen oder ganzen Zahlen)

   \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)

Potenzsummen [Bearbeiten]

   \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (Summe der ersten n Quadratzahlen)

   \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)

   \sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)

   \sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right) (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

   \sum_{i=1}^n k^i = \frac{k^{n+1} -k}{k-1} (Summe der Potenzen von k mit bis zu n aufsteigendem Exponenten)