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# Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Formelsammlung/kontrolle

Symbole und Konventionen

${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ die natürlichen Zahlen mit ${\displaystyle {}0}$.

${\displaystyle {}\mathbb {N} _{+}}$ die positiven natürlichen Zahlen (ohne ${\displaystyle {}0}$).

Einige Stammfunktionen
${\displaystyle {}x^{n}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}}$ ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$
${\displaystyle {}x^{n}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}}$ ${\displaystyle {}x\neq 0}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}$
${\displaystyle {}x^{a}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{a+1}}x^{a+1}}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} _{+}}$, ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} ,\,a\neq -1}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}x^{-1}}$ ${\displaystyle {}\ln x}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}\ln x}$ ${\displaystyle {}x\ln x-x}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}\exp x}$ ${\displaystyle {}\exp x}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}\sinh x}$ ${\displaystyle {}\cosh x}$
${\displaystyle {}\cosh x}$ ${\displaystyle {}\sinh x}$
${\displaystyle {}\sin x}$ ${\displaystyle {}-\cos x}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}\cos x}$ ${\displaystyle {}\sin x}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}\tan x}$ ${\displaystyle {}-\ln(\cos x)}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ,\,-{\frac {\pi }{2}} ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\frac {1}{x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle {}\arctan x}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\frac {1}{x^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}}$ ${\displaystyle {}\triangle ={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\frac {1}{1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}={\frac {1}{2}}{\left(\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)\right)}}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ,\,-1 ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$ ${\displaystyle {}\tan x}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ,\,-{\frac {\pi }{2}} ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {x^{2}-1}}-\,\operatorname {arcosh} \,x\,\right)}}$ ${\displaystyle {}\vert {x}\vert \geq 1}$ ${\displaystyle {}\bullet }$ oder ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x\right)}}$ ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ,\,-1 ${\displaystyle {}\bullet }$ oder ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\sqrt {x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {x^{2}+1}}+\,\operatorname {arsinh} \,x\,\right)}}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$ ${\displaystyle {}\,\operatorname {arsinh} \,x\,}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$ ${\displaystyle {}\,\operatorname {arcosh} \,x\,}$ ${\displaystyle {}\vert {x}\vert >1}$ ${\displaystyle {}\bullet }$
${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ ${\displaystyle {}\arcsin x}$ ${\displaystyle {}-1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle {}\bullet }$

Danke für die Hilfe. Leider weiß ich nicht, warum es bei zwei Termen nicht funktioniert.

Bitte so einsetzen, dann kann man einfach einen Latexfile produzieren.

${\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\,\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$
${\displaystyle {}\int \arccos {x}\,dx=x\,\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$


$\displaystyle \int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left$
${\displaystyle {}\int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$
${\displaystyle {}\int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$
${\displaystyle {}\int \tanh x\,dx=\ln }$



Rekursionsformeln

34.2 Es sei x2 + bx + c (mit b,c in R) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h. dass

${\displaystyle {}\triangle ={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0}$
ist).


Dann ist[3]

 ${\displaystyle {}\int {\frac {1}{x^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\,\operatorname {arctan} \,{\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}(u+{\frac {b}{2}})\,}$


und für ${\displaystyle {}n\geq 1}$ gilt die Rekursionsformel

$\displaystyle \int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^{n+1$

dx = \frac{ 1 }{ n (4c-b^2) } \left( \frac{ 2u+b }{ (u^2+bu+c)^n } + (4n-2) \int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^n } dx \right) \,

|SZ= }}

34.3 Mit Lemma 34.2 kann man auch rationale Funktionen der Form

    ${\displaystyle {}{\frac {rx+s}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}\,}$


(mit r,s ${\displaystyle {}\in \mathbb {R} ,\,r\neq 0,}$ ) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear ist und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei n = 1 ist

   ${\displaystyle {}({\frac {r}{2}}\,\operatorname {ln} \,(x^{2}+bx+c))'={\frac {r}{2}}\cdot {\frac {2x+b}{x^{2}+bx+c}}={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{x^{2}+bx+c}}\,}$   .


D.h. dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ

   ${\displaystyle {}{\frac {u}{x^{2}+bx+c}}\,}$


ist, was wir aufgrund von Lemma 34.2 integrieren können. Bei ${\displaystyle {}n\geq 2}$ ist

    ${\displaystyle {}({\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{n-1}}})'={\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot (-n+1)\cdot (2x+b)\cdot {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}\,}$


und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt.

Kommt nicht dran:

Summenformeln

 Arithmetische Reihen [Bearbeiten]

   \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} (Summe der ersten n natürlichen Zahlen, Der kleine Gauß)

   \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)-(m-1)m}{2} = \frac{(n+m)(n-m+1)}{2} (Summe eines Bereiches von m bis n natürlichen oder ganzen Zahlen)

   \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)


Potenzsummen [Bearbeiten]

   \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (Summe der ersten n Quadratzahlen)

   \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)

   \sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)

   \sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right) (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

   \sum_{i=1}^n k^i = \frac{k^{n+1} -k}{k-1} (Summe der Potenzen von k mit bis zu n aufsteigendem Exponenten)