Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Formelsammlung/latex

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\zwischenueberschrift{Symbole und Konventionen}

$\N$ die natürlichen Zahlen mit $0$.

$\N_+$ die positiven natürlichen Zahlen \zusatzklammer {ohne $0$} {} {.}







\zwischenueberschrift{Einige Stammfunktionen}

\tabellemitvierspaltenblock {\zeileundvier {Funktion} {Stammfunktion} {Bemerkung} {Link} }
{\fuenfzeilenblock {\zeileundvier { $x^n$ } { $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ } { $n \in \N$ } { } }
{\zeileundvier { $x^n$ } { $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ } { $x \neq 0$, $n \in \Z,\, n \neq -1$ } { } }
{\zeileundvier { $x^a$ } { $\frac{1}{a+1}x^{a+1}$ } { $x \in \R_+$, $a \in \R,\, a \neq -1$ } {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { $x^{-1}$ } { $\ln x$ } { $x \in \R_+$ } {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { $\ln x$ } { $x \ln x - x$ } { $x \in \R_+$ } {$\bullet$ } } }
{\fuenfzeilenblock {\zeileundvier { $\exp x$ } { $\exp x$ } {} {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { $\sinh x$ } { $\cosh x$ } {} { } }
{\zeileundvier { $\cosh x$ } { $\sinh x$ } {} { } }
{\zeileundvier { $\sin x$ } { $- \cos x$ } {} {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { $\cos x$ } { $\sin x$ } {} {$\bullet$ } } }
{\fuenfzeilenblock {\zeileundvier { $\tan x$ } { $- \ln (\cos x)$ } { $x \in \R,\, - { \frac{ \pi }{ 2 } } < x < { \frac{ \pi }{ 2 } }$ } {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { ${ \frac{ 1 }{ x^2+1 } }$ } { $\arctan x$ } { $x \in \R$ } {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { ${ \frac{ 1 }{ x^2+bx+c } }$ } { ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{-\triangle} } } \arctan { \frac{ 1 }{ \sqrt{-\triangle} } } { \left( x + { \frac{ b }{ 2 } } \right) }$ } { $\triangle = { \frac{ b^2-4c }{ 4 } } < 0$ } {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { ${ \frac{ 1 }{ 1-x^2 } }$ } { ${ \frac{ 1 }{ 2 } } \ln { \frac{ 1+x }{ 1-x } } = { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \ln \left( 1+x \right) - \ln \left( 1-x \right) \right) }$ } {$x \in \R, \, -1 < x <1$ } { $\bullet$ } }
{\zeileundvier { ${ \frac{ 1 }{ \cos^{ 2 } x } }$ } { $\tan x$ } { $x \in \R,\, - { \frac{ \pi }{ 2 } } < x < { \frac{ \pi }{ 2 } }$ } { $\bullet$ } } }
{\fuenfzeilenblock {\zeileundvier { $\sqrt{x^2-1}$ } { $\frac{1}{2} { \left( x\cdot \sqrt{x^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, x \, \right) }$ } {$\betrag { x } \geq 1$} { $\bullet$ oder $\bullet$ } }
{\zeileundvier { $\sqrt{1-x^2}$ } { $\frac{1}{2} { \left( x\cdot \sqrt{1-x^2} + \arcsin x \right) }$ } { $x \in \R,\, - 1 < x < 1$ } { $\bullet$ oder $\bullet$ } }
{\zeileundvier { $\sqrt{x^2+1}$ } { $\frac{1}{2} { \left( x\cdot \sqrt{x^2+1} + \, \operatorname{arsinh} \, x \, \right) }$ } {} {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{x^2+1} } }$ } { $\, \operatorname{arsinh} \, x \,$ } {} {$\bullet$ } }
{\zeileundvier { ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{x^2-1} } }$ } { $\, \operatorname{arcosh} \, x \,$ } {$\betrag { x } > 1$ } {$\bullet$ } } }
{\fuenfzeilenblock {\zeileundvier { ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2} } }$} { $\arcsin x$ } { $-1 \leq x \leq 1$ } { $\bullet$ } }
{\zeileundvier {} {} {} {} }
{\zeileundvier {} {} {} {} }
{\zeileundvier {} {} {} {} }
{\zeileundvier {} {} {} {} } }


Danke für die Hilfe. Leider weiß ich nicht, warum es bei zwei Termen nicht funktioniert.


Bitte so einsetzen, dann kann man einfach einen Latexfile produzieren.


\mathdisp {\int \arcsin{x} \, dx = x \, \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C} { }

$\int \arccos{x} \, dx = x \, \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C$


\mathdisp {\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left} { }

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$ 
$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$ 
$\int \tanh x \, dx = \ln$


Rekursionsformeln

34.2 Es sei x2 + bx + c (mit b,c in R) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h. dass 

$\triangle = \frac{ b^2-4c }{ 4 } < 0$ 
ist).


Dann ist[3] 

 $\int \frac{ 1 }{ x^2+bx+c } dx = \frac{ 1 }{ \sqrt{-\triangle} } \, \operatorname{arctan} \, \frac{ 1 }{ \sqrt{-\triangle} } (u+ \frac{ b }{ 2 }) \,$

und für $n \geq 1$ gilt die Rekursionsformel



\mathdisp {\int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^{n+1} { }
dx = \frac{ 1 }{ n (4c-b^2) } \left( \frac{ 2u+b }{ (u^2+bu+c)^n } + (4n-2) \int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^n } dx \right) \, |SZ= }}

34.3 Mit Lemma 34.2 kann man auch rationale Funktionen der Form 

    $\frac{ rx+s }{ (x^2+bx+c)^n } \,$

(mit r,s $\in \R,\, r \neq 0,$ ) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear ist und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei n = 1 ist 

   $( \frac{ r }{ 2 } \, \operatorname{ln} \, (x^2+bx+c) )' = \frac{ r }{ 2 } \cdot \frac{ 2x+b }{ x^2+bx+c } = \frac{ rx + \frac{ rb }{ 2 } }{ x^2+bx+c } \,$   .

D.h. dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ 

   $\frac{ u }{ x^2+bx+c } \,$

ist, was wir aufgrund von Lemma 34.2 integrieren können. Bei $n \geq 2$ ist 

    $( \frac{ -r }{ 2 (n-1) } \cdot \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^{n-1} } )' = \frac{ -r }{ 2 (n-1) } \cdot (-n+1) \cdot (2x+b) \cdot \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^{n} } = \frac{ rx + \frac{ rb }{ 2 } }{ (x^2+bx+c)^{n} } \,$

und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt.


Kommt nicht dran:


Summenformeln 

 Arithmetische Reihen [Bearbeiten]

   \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} (Summe der ersten n natürlichen Zahlen, Der kleine Gauß)

   \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)-(m-1)m}{2} = \frac{(n+m)(n-m+1)}{2} (Summe eines Bereiches von m bis n natürlichen oder ganzen Zahlen)

   \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)

Potenzsummen [Bearbeiten] 

   \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (Summe der ersten n Quadratzahlen)

   \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)

   \sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)

   \sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right) (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

   \sum_{i=1}^n k^i = \frac{k^{n+1} -k}{k-1} (Summe der Potenzen von k mit bis zu n aufsteigendem Exponenten)
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