Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/2/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  2. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

  3. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen durch einen Punkt , in dem das totale Differential surjektiv ist.

  4. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
  5. Eine Bilinearform auf einem -Vektorraum .
  6. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem -Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  7. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  8. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
  2. Die Formel für die Länge einer Kurve
  3. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
    in einem Punkt .
  4. Der Satz über die Umkehrabbildung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe * (9 (6+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von .

b) Bestimme eine Stammfunktion von für .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?


Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .










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