Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/2/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f:I⟶ℝ$

   auf einem beschränkten Intervall $I\subseteq ℝ$.

2. Das totale Differential in einem Punkt $P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

   $\phi :V⟶W$

   (dabei seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).

3. Der Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbaren Abbildung

   $\phi :V⟶W$

   zwischen endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorräumen durch einen Punkt $P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.

4. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge $U\subseteq {ℝ}^n$.
5. Eine Bilinearform $⟨-,-⟩$ auf einem $K$-Vektorraum $V$.
6. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $⟨-,-⟩$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ bezüglich einer Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$.
7. Der Dualraum zu einem $K$-Vektorraum $V$.
8. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\phi :V\to V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.
2. Die Formel für die Länge einer Kurve

   $f:[a,b]⟶{ℝ}^n.$

3. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

   $\phi :V⟶W$

   in einem Punkt

    $P\in V$. 
4. Der Satz über die Umkehrabbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2x+3}-e^{-x},$

über $[1,4]$.

Aufgabe * (9 (6+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ\setminus \{1\}⟶ℝ,x⟼\frac{x^5+3x^3-2x^2+x-1}{(x-1{)}^2(x^2+1)}.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ für  $x>1$. 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$\gamma :[a,b]⟶{ℝ}^n$

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

$L(\gamma )=L(\phi \circ \gamma ).$

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :{ℝ}^6⟶{ℝ}^4,(a,b,c,d,u,v)⟼(au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2).$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass $\phi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass $\phi$ in $(1,1,0,0,1,1)$ regulär ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^2+xy-6y^2-y,$

auf kritische Punkte und Extrema.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^m.$

Für welche Punkte  $P\in {ℝ}^n$  sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?

Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f:[0,1]⟶ℝ,t⟼1-t^2.$

Für welche $x,y\in [0,1]$, $x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung  $\left(\begin{array}{c}x(0)\\ y(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 3\end{array}\right)$. 

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