Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 36/latex
\setcounter{section}{36}
In dieser Vorlesung entwickeln wir die Integrationstheorie in zweierlei Hinsicht weiter. Einerseits untersuchen wir, wie sich bei einer konvergenten Funktionenfolge die Integrale verhalten. Andererseits beschäftigen wir uns mit der Frage, was passiert, wenn wir in einem Integral
\mathl{\int_a^b f(t)dt}{} die Intervallgrenzen gegen unendlich oder gegen eine Zahl, wo die Funktion nicht definiert ist, wandern lassen.
\zwischenueberschrift{Integrale von Grenzfunktionen}
\inputfaktbeweis
{Gleichmäßig konvergente Funktionenfolge/Bestimmtes Integral/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f_n} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergente}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {.}}
\faktfolgerung {Dann gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } f_n(t) \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da die Grenzfunktion nach
Fakt *****
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, existiert das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
rechts nach
Satz 31.14.
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f_n(t)-f(t) }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ b-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gilt für diese $n$ die Abschätzung unter Verwendung von
Lemma 31.15 (3)
und
Lemma 31.15 (6)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { \int_{ a }^{ b } f_n(t) \, d t - \int_{ a }^{ b } f(t) \, d t }
}
{ =} { \betrag { \int_{ a }^{ b } f_n(t) -f(t) \, d t }
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \betrag { f_n(t) -f(t) } \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } { \frac{ \epsilon }{ b-a } } \, d t
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{.}
Es sei
\maabbeledisp {f} {X \times [a,b]} {\R
} {(x,t)} {f(x,t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Funktion
\maabbeledisp {} {X} {\R
} {x} { \int_{ a }^{ b } f(x,t) \, d t
} {,}
stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 20.3
müssen wir für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $X$ mit dem
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$ zeigen, dass die Folge der Integrale
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(x_n,t) \, d t} { }
gegen
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(x,t) \, d t} { }
konvergiert. Aufgrund von
Lemma 36.1
genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge
\mathl{f(x_n,-)}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen
\mathl{f(x,-)}{} konvergiert.
Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_m
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_m, t_m) - f(x,t_m) }
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. So können wir eine Teilfolge
\mathl{(x_{n_k})_{k \in \N}}{} mit zugehörigen Punkten $t_{n_k}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen
Bolzano Weierstraß
gibt es zu dieser Folge in
\mathl{[a,b]}{} eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{,}
und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge
\mathl{(t_{n_k})_{k \in \N}}{} konvergiert, sagen wir gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Stetigkeit von $f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein $k_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ k_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x,t_{n_k} ) - f(x ,t) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 3 } } \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Damit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t_{n_k}) }
}
{ \leq} { \betrag { f(x_{n_k},t_{n_k}) - f(x,t ) } + \betrag { f(x ,t) - f(x,t_{n_k}) }
}
{ \leq} { { \frac{ 2 \epsilon }{ 3 } }
}
{ <} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
$$ ein Widerspruch.
\zwischenueberschrift{Uneigentliche Integrale}
Wir erinnern zunächst an die Definition des Grenzwertes.
\inputdefinition
{
}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es sei
\maabbdisp {f} {T} { L
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen weiteren metrischen Raum $L$. Dann heißt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionswort {Grenzwert}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {Limes}{}} {} {}
von $f$ in $a$, wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ B \left( a,\delta \right) \cap T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (x)
}
{ \in }{ B \left( w,\epsilon \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In diesem Fall schreibt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wir interessieren uns dabei hauptsächlich für den Fall, wo eine stetige Funktion
\maabb {f} {]r,s[} {\R
} {}
gegeben ist und die stetige Fortsetzbarkeit nach
\mathkor {} {r} {oder nach} {s} {}
geklärt werden soll. Wir wollen aber auch für eine Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
das Verhalten für
\mathkor {} {x \mapsto \infty} {oder} {x \mapsto - \infty} {}
erfassen.
\inputdefinition
{
}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und es sei
\maabbdisp {f} {\R} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Dann heißt
\mathl{w \in M}{} der \definitionswort {Grenzwert}{} von $f$ für
\mathl{x \rightarrow \infty}{,} wenn es für jedes
\mathl{\epsilon >0}{} ein
\mathl{s \in \R}{} gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
\mathbed {x \in \R} {}
{x \geq s} {}
{} {} {} {,}
ist
\mathl{d { \left( f(x), w \right) } \leq \epsilon}{.}
}
Unter einem Randpunkt eines \zusatzklammer {ein- oder beidseitig} {} {} unbeschränkten Intervalls verstehen wir im Folgenden auch die Symbole \mathkor {} {\infty} {und} {- \infty} {.} Dies heißt nicht, dass diese Symbole zu $\R$ gehören, sondern lediglich, dass man dafür sinnvolle Grenzwertbetrachtungen durchführen kann.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{,}
$r$ ein
\definitionsverweis {(uneigentlicher) Randpunkt}{}{}
von $I$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R} {}
gegeben. Man sagt, dass das \definitionswort {uneigentliche Integral}{} zu $f$ für
\mathl{x \rightarrow r}{} existiert, wenn der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow r } \, \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t} { }
existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch
\mathdisp {\int_{ a }^{ r } f ( t) \, d t} { }
und nennt dies das \definitionswort {uneigentliche Integral}{} von
\mathkor {} {a} {nach} {r} {}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Improper_integral.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ (x+1) \sqrt{x} } }}{,} der blaue Flächeninhalt repräsentiert das (beidseitig) uneigentliche Integral.} }
\bildlizenz { Improper integral.svg } {} {KSmrq} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die Existenz dieses uneigentlichen Integrals hängt nicht vom gewählten Intervallpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ab, wohl aber der Wert des uneigentlichen Integrals. Die inhaltliche Interpretation des uneigentlichen Integrals ist wiederum der Flächeninhalt unterhalb des Funktionsgraphen, aber erstreckt über ein nicht notwendigerweise kompaktes Intervall. Wenn für die Funktion $f$ eine Stammfunktion $F$ bekannt ist, so geht es um das Bestimmen des Grenzwertes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow r } \, \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow r } \, F(x)-F(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Frage, ob eine uneigentliches Integral existiert, ist nur relevant, wenn $r$ ein uneigentlicher Randpunkt $+ \infty$ oder $- \infty$ ist oder wenn $r$ der eigentliche Randpunkt eines an dieser Stelle halboffenen Intervalls ist.
\inputfaktbeweis
{Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $r$ sei ein
\definitionsverweis {(uneigentlicher) Randpunkt}{}{}
von $I$. Es seien
\maabbdisp {f,h} {I} {\R_{\geq 0}
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mathdisp {f(t) \leq h(t) \text { für alle } t \in I} { }
und es sei vorausgesetzt, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ a }^{ r } h ( t) \, d t} { }
existiert.}
\faktfolgerung {Dann existiert auch das uneigentliche Integral
\mathdisp {\int_{ a }^{ r } f ( t) \, d t} { }
und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ r } f ( t) \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ r } h ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir behandeln den Fall, wo $r$ die obere Intervallgrenze ist. Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } h ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ \leq }{ h(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Nichtnegativität von $h$ und von $f$ wachsen beide Seite bei
\mathl{b \rightarrow r}{,} und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ a }^{ r } h ( t) \, d t}{} beschränkt. Nach
Satz 8.9
existiert der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ b \rightarrow r } \, \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { \int_{ a }^{ r } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ \defeq }{ t^{ c }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir interessieren uns für die
\definitionsverweis {uneigentlichen Integrale}{}{}
zu $f$ für $t$ von
\mathkor {} {0} {bis} {1} {.}
Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze $0$
\zusatzklammer {bei negativem $c$} {} {}
nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\ln t}{} eine Stammfunktion von
\mathl{1/t}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ x }^{ 1 } \frac{1}{t} \, d t
}
{ =} { - \ln x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
für
\mathl{x \rightarrow 0}{} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ < }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{\frac{1}{ { c }+1} t^{ { c }+1}}{} eine Stammfunktion zu $t^{ c }$ und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \left( \int_{ x }^{ 1 } t^{ c } \, d t \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \left( \frac{1}{ { c }+1} t^{ { c }+1} | _{ x } ^{ 1 } \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \left( \frac{1}{ { c }+1} - \frac{x^{ { c } + 1} }{ { c }+1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da es sich rechts um eine Potenz von $x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, x^{ { c }+1}
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach der inversen Version von
Aufgabe *****.
Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Dies folgt übrigens auch aus
Lemma 36.6,
da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t^{-1}
}
{ \leq }{ t^{c}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ < }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ t
}
{ \leq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { c }
}
{ > }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{\frac{1}{ { c }+1} t^{ { c }+1}}{} eine Stammfunktion zu $t^{ c }$ und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \left( \int_{ x }^{ 1 } t^{ c } \, d t \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \left( \frac{1}{ { c }+1} t^{ { c }+1} | _{ x } ^{ 1 } \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \left( \frac{1}{ { c }+1} - \frac{x^{ { c } + 1} }{ { c }+1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da es sich um eine Potenz von $x$ mit einem positiven Exponenten handelt, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, x^{ { c }+1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {nach
Aufgabe *****} {} {.}
Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert
\mathl{{ \frac{ 1 }{ c+1 } }}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ \defeq }{ t^{ c }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir interessieren uns für das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
zu $f$ für $t$ von
\mathkor {} {1} {bis} {\infty} {.}
Der kritische
\definitionsverweis {(uneigentliche) Randpunkt}{}{}
ist also $+ \infty$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\ln t}{} eine Stammfunktion von
\mathl{1/t}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 1 }^{ x } \frac{1}{t} \, d t
}
{ =} { \ln x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
für
\mathl{x \rightarrow + \infty}{} existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ < }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{\frac{1}{ { c }+1} t^{ { c }+1}}{} eine Stammfunktion zu $t^{ c }$ und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow \infty } \, { \left( \int_{ 1 }^{ x } t^{ c } \, d t \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow \infty } \, { \left( \frac{1}{ { c }+1} t^{ { c }+1} | _{ 1 } ^{ x } \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow \infty } \, { \left( \frac{x^{ { c } + 1} }{ { c }+1} - \frac{1}{ { c }+1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da es sich um eine Potenz von $x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow \infty } \, x^{ { c }+1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert
\mathl{- { \frac{ 1 }{ c +1 } }}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ > }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t^{ c }
}
{ \geq }{ t^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher kann nach
Lemma 36.6
das uneigentliche Integral nicht existieren.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
mit den beiden
\definitionsverweis {(uneigentlichen) Randpunkten}{}{}
\mathkor {} {r} {und} {s} {}
von $I$. Es sei eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R} {}
gegeben. Man sagt, dass das
\zusatzklammer {\definitionswort {beidseitig}{}} {} {}
\definitionswort {uneigentliche Integral}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t} { }
existiert, wenn für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die beiden einseitig
\definitionsverweis {uneigentlichen Integrale}{}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ a } f ( t) \, d t \text{ und } \int_{ a }^{ s } f ( t) \, d t} { }
existieren. In diesem Fall setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t
}
{ \defeq} { \int_{ r }^{ a } f ( t) \, d t + \int_{ a }^{ s } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennt dies das \definitionswort {uneigentliche Integral}{} zu $f$ von
\mathkor {} {r} {nach} {s} {.}
}
Die Existenz des beidseitig uneigentlichen Integrals hängt nicht von der Wahl des Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ab. Darüber hinaus hängt der Wert dieses Integrals, falls es existiert, ebenso wenig von dem gewählten Punkt ab.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Normal_distribution.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } }}{} ist die Dichtefunktion der Gaußschen Normalverteilung. Der Flächeninhalt unterhalb der Kurve ist $1$.} }
\bildlizenz { Normal distribution.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Die Funktion
\mathl{e^{-t^2}}{} ist nicht elementar integrierbar, d.h., man kann keine geschlossene Stammfunktion mit rationalen Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrfunktionen angeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ -\infty }^{ \infty } e^{-t^2} \, d t
}
{ =} { \sqrt{\pi}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was wir hier ohne Beweis mitteilen, siehe
Lemma 75.5.
Durch eine einfache Substitution ergibt sich daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} } } \int_{ -\infty }^{ \infty } e^{- { \frac{ t^2 }{ 2 } } } \, d t
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses Integral nennt man \stichwort {Fehlerintegral} {;} es spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle.
}
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