Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 36

In dieser Vorlesung entwickeln wir die Integrationstheorie in zweierlei Hinsicht weiter. Einerseits untersuchen wir, wie sich bei einer konvergenten Funktionenfolge die Integrale verhalten. Andererseits beschäftigen wir uns mit der Frage, was passiert, wenn wir in einem Integral ${}\int _{a}^{b}f(t)dt$ die Intervallgrenzen gegen unendlich oder gegen eine Zahl, wo die Funktion nicht definiert ist, wandern lassen.

Integrale von Grenzfunktionen

Lemma

Es sei

$f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen mit der Grenzfunktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann gilt die Beziehung

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt\,.$

Beweis

Da die Grenzfunktion nach Lemma 16.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) stetig ist, existiert das bestimmte Integral rechts nach Satz 31.14. Für jedes  ${}\epsilon >0$  gibt es ein ${}n_{0}$ mit

${}\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \leq {\frac {\epsilon }{b-a}}\,$

für alle  ${}n\geq n_{0}$  und alle  ${}t\in [a,b]$.  Daher gilt für diese ${}n$ die Abschätzung unter Verwendung von Lemma 31.15  (3) und Lemma 31.15  (6)

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)\,dt-\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert &=\vert {\int _{a}^{b}f_{n}(t)-f(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {f_{n}(t)-f(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\frac {\epsilon }{b-a}}\,dt\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

$\Box$

Satz

Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Es sei

$f\colon X\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto f(x,t),$

eine stetige Funktion.

Dann ist auch die Funktion

$X\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(x,t)\,dt,$

stetig.

Beweis

Aufgrund von Satz 20.3 müssen wir für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}X$ mit dem Grenzwert ${}x$ zeigen, dass die Folge der Integrale

$\int _{a}^{b}f(x_{n},t)\,dt$

gegen

$\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt$

konvergiert. Aufgrund von Lemma 36.1 genügt es zu zeigen, dass die Funktionenfolge ${}f(x_{n},-)$ gleichmäßig gegen ${}f(x,-)$ konvergiert.  Nehmen wir also an, dass diese Folge nicht gleichmäßig konvergiert. Dann gibt es ein  ${}\epsilon >0$  mit der Eigenschaft, dass es zu jedem  ${}n\in \mathbb {N}$  ein  ${}m\geq n$  und ein  ${}t_{m}\in [a,b]$  mit  ${}\vert {f(x_{m},t_{m})-f(x,t_{m})}\vert \geq \epsilon$  gibt. So können wir eine Teilfolge ${}(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ mit zugehörigen Punkten ${}t_{n_{k}}$ konstruieren, die diese Abstandbedingung erfüllen. Wegen Bolzano Weierstraß gibt es zu dieser Folge in ${}[a,b]$ eine konvergente Teilfolge, und durch Umbenennen können wir annehmen, dass die Folge ${}(t_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ konvergiert, sagen wir gegen  ${}t\in [a,b]$.  Wegen der Stetigkeit von ${}f$ und den Konvergenzeigenschaften gibt es ein ${}k_{0}$ derart, dass für alle  ${}k\geq k_{0}$  die Abschätzungen  ${}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$  und  ${}\vert {f(x,t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert \leq {\frac {1}{3}}\epsilon$  gelten. Damit ist

${}{\begin{aligned}\vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t_{n_{k}})}\vert &\leq \vert {f(x_{n_{k}},t_{n_{k}})-f(x,t)}\vert +\vert {f(x,t)-f(x,t_{n_{k}})}\vert \\&\leq {\frac {2\epsilon }{3}}\\&<\epsilon ,\end{aligned}}$

${}$ ein Widerspruch.

$\Box$

Uneigentliche Integrale

Wir erinnern zunächst an die Definition des Grenzwertes.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  ${}a\in M$  ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$. Dann heißt  ${}w\in L$  der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es für jedes  ${}\epsilon >0$  ein  ${}\delta >0$  gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes  ${}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$  ist  ${}f(x)\in B\left(w,\epsilon \right)$.  In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Wir interessieren uns dabei hauptsächlich für den Fall, wo eine stetige Funktion ${}f\colon ]r,s[\rightarrow \mathbb {R}$ gegeben ist und die stetige Fortsetzbarkeit nach ${}r$ oder nach ${}s$ geklärt werden soll. Wir wollen aber auch für eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ das Verhalten für ${}x\mapsto \infty$ oder ${}x\mapsto -\infty$ erfassen.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann heißt ${}w\in M$ der Grenzwert von ${}f$ für ${}x\rightarrow \infty$, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}s\in \mathbb {R}$ gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ${}x\in \mathbb {R}$, ${}x\geq s$, ist ${}d{\left(f(x),w\right)}\leq \epsilon$.

Unter einem Randpunkt eines (ein- oder beidseitig) unbeschränkten Intervalls verstehen wir im Folgenden auch die Symbole ${}\infty$ und ${}-\infty$. Dies heißt nicht, dass diese Symbole zu ${}\mathbb {R}$ gehören, sondern lediglich, dass man dafür sinnvolle Grenzwertbetrachtungen durchführen kann.

Definition

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und  ${}a\in I$.  Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}x\rightarrow r$ existiert, wenn der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und nennt dies das uneigentliche Integral von ${}a$ nach ${}r$

Die Funktion ${}{\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$, der blaue Flächeninhalt repräsentiert das (beidseitig) uneigentliche Integral.

Die Existenz dieses uneigentlichen Integrals hängt nicht vom gewählten Intervallpunkt  ${}a\in I$  ab, wohl aber der Wert des uneigentlichen Integrals. Die inhaltliche Interpretation des uneigentlichen Integrals ist wiederum der Flächeninhalt unterhalb des Funktionsgraphen, aber erstreckt über ein nicht notwendigerweise kompaktes Intervall. Wenn für die Funktion ${}f$ eine Stammfunktion ${}F$ bekannt ist, so geht es um das Bestimmen des Grenzwertes

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt=\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,F(x)-F(a)\,.$

Die Frage, ob eine uneigentliches Integral existiert, ist nur relevant, wenn ${}r$ ein uneigentlicher Randpunkt ${}+\infty$ oder ${}-\infty$ ist oder wenn ${}r$ der eigentliche Randpunkt eines an dieser Stelle halboffenen Intervalls ist.

Lemma

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,  ${}a\in I$  und ${}r$ sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$. Es seien

$f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

stetige Funktionen mit

$f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I$

und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

$\int _{a}^{r}h(t)\,dt$

existiert.

Dann existiert auch das uneigentliche Integral

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und es gilt

${}\int _{a}^{r}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{r}h(t)\,dt\,.$

Beweis

Wir behandeln den Fall, wo ${}r$ die obere Intervallgrenze ist. Für alle  ${}b\in I$  ist

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}h(t)\,dt\,$

wegen  ${}f(t)\leq h(t)$  für alle  ${}t\in I$.  Wegen der Nichtnegativität von ${}h$ und von ${}f$ wachsen beide Seite bei ${}b\rightarrow r$, und die rechte Seite ist durch das uneigentliche Integral ${}\int _{a}^{r}h(t)\,dt$ beschränkt. Nach Satz 8.9 existiert der Grenzwert

${}\operatorname {lim} _{b\rightarrow r}\,\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{r}f(t)\,dt\,.$

$\Box$

Beispiel

Es sei  ${}f(t):=t^{c}$  mit  ${}c\in \mathbb {R}$.  Wir interessieren uns für die uneigentlichen Integrale zu ${}f$ für ${}t$ von ${}0$ bis ${}1$. Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze ${}0$ (bei negativem ${}c$) nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei  ${}c=-1$  ist ${}\ln t$ eine Stammfunktion von ${}1/t$. Daher ist

${}\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=-\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\rightarrow 0$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun  ${}c<-1$.  Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left(\int _{x}^{1}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{x}^{1}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}-{\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich rechts um eine Potenz von ${}x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist  ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,x^{{c}+1}=\infty$  nach der inversen Version von Aufgabe 17.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Dies folgt übrigens auch aus Lemma 36.6, da ja  ${}t^{-1}\leq t^{c}$  für  ${}c<-1$  und  ${}0<t\leq 1$  gilt.

Es sei nun  ${}{c}>-1$.  Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left(\int _{x}^{1}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{x}^{1}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}-{\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich um eine Potenz von ${}x$ mit einem positiven Exponenten handelt, ist  ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,x^{{c}+1}=0$  (nach Aufgabe 17.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))). Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert ${}{\frac {1}{c+1}}$.

Beispiel

Es sei  ${}f(t):=t^{c}$  mit  ${}c\in \mathbb {R}$.  Wir interessieren uns für das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}t$ von ${}1$ bis ${}\infty$. Der kritische (uneigentliche) Randpunkt ist also ${}+\infty$. Bei  ${}c=-1$  ist ${}\ln t$ eine Stammfunktion von ${}1/t$. Daher ist

${}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun  ${}c<-1$.  Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left(\int _{1}^{x}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{1}^{x}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,{\left({\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}-{\frac {1}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich um eine Potenz von ${}x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist  ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,x^{{c}+1}=0$.  Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert ${}-{\frac {1}{c+1}}$.

Bei  ${}c>-1$  ist  ${}t^{c}\geq t^{-1}$  für  ${}t\geq 1$  und daher kann nach Lemma 36.6 das uneigentliche Integral nicht existieren.

Definition

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten ${}r$ und ${}s$ von ${}I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral

$\int _{r}^{s}f(t)\,dt$

existiert, wenn für ein  ${}a\in I$  die beiden einseitig uneigentlichen Integrale

$\int _{r}^{a}f(t)\,dt\,\,{\text{ und }}\,\,\int _{a}^{s}f(t)\,dt$

existieren. In diesem Fall setzt man

${}\int _{r}^{s}f(t)\,dt:=\int _{r}^{a}f(t)\,dt+\int _{a}^{s}f(t)\,dt\,$

und nennt dies das uneigentliche Integral zu ${}f$ von ${}r$ nach ${}s$.

Die Existenz des beidseitig uneigentlichen Integrals hängt nicht von der Wahl des Punktes  ${}a\in I$  ab. Darüber hinaus hängt der Wert dieses Integrals, falls es existiert, ebenso wenig von dem gewählten Punkt ab.

Die Funktion ${}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$ ist die Dichtefunktion der Gaußschen Normalverteilung. Der Flächeninhalt unterhalb der Kurve ist ${}1$.

Beispiel

Die Funktion ${}e^{-t^{2}}$ ist nicht elementar integrierbar, d.h., man kann keine geschlossene Stammfunktion mit rationalen Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrfunktionen angeben. Es ist

${}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\,,$

was wir hier ohne Beweis mitteilen, siehe Lemma 75.5. Durch eine einfache Substitution ergibt sich daraus

${}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$

Dieses Integral nennt man Fehlerintegral; es spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle.

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