Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 53/latex

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\setcounter{section}{53}

In dieser Vorlesung werden wir wesentliche Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit stellen und ihn anschließend beweisen.






\zwischenueberschrift{Supremumsnorm und Abbildungsräume}

Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.

Es sei $T$ eine Menge und \maabbdisp {f} {T} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T }
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das \definitionswort {Supremum}{} \zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {} von $f$. Es ist eine \definitionsverweis {nichtnegative}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} oder $\infty$.


Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also $T$ eine Menge und $E$ sei ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung \maabbdisp {f} {T} {E } {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T }
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f(x)} \Vert ,x \in T ) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und nennt dies das \definitionswort {Supremum}{} \zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {} von $f$ \zusatzklammer {falls das Supremum nicht existiert, ist dies als $\infty$ zu interpretieren} {} {.}

Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \operatorname{Abb}(T,E) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{;} dies ist ein \zusatzklammer {i.A. unendlichdimensionaler} {} {} reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften \zusatzklammer {die geeignet zu interpretieren sind, falls $\infty$ auftritt} {} {.} \aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda f} \Vert }
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,f }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {g+f} \Vert }
{ \leq} { \Vert {g} \Vert + \Vert {f} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

Wenn $T$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} ist, so betrachtet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C }
{ =} { { \left\{ f:T \rightarrow E \mid f \text{ stetig} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dieser ist ein reeller Untervektorraum von $M$. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \R^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nichtleer, \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist, so ist nach Satz 22.7 das Supremum von
\mathbed {\Vert {f(x)} \Vert} {}
{x \in T} {}
{} {} {} {,} gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {f(x')} \Vert }
{ \leq }{ \Vert {f(x)} \Vert }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x' }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der \stichwort {Maximumsnorm} {.}





\inputfaktbeweis
{Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} Teilmenge, es sei $E$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ C(T,E) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Vektorraum der stetigen Abbildungen}{}{} von $T$ nach $E$.}
\faktfolgerung {Dann ist $C$, versehen mit der \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,} ein \definitionsverweis {vollständiger metrischer Raum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei \maabbdisp {f_n} {T} {E } {} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} von \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{.} Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine \definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} die ebenfalls stetig ist. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0 }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f_n(x) -f_m(x)} \Vert }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Daher ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, so dass sich insgesamt eine Grenzabbildung \maabbeledisp {f} {T} {E } {x} {f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) } {,} ergibt, gegen die die Funktionenfolge \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.} Da
\mathl{{ \left( f_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets ein $n_0$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen $f$ \zusatzklammer {und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm} {} {.} Aufgrund von Fakt ***** ist daher $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}

}






\zwischenueberschrift{Integration von stetigen Wegen}

Für eine stetige Kurve \maabbdisp {g} {I} {V } {} in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für
\mathl{a,b \in I}{} das \stichwort {Integral} {}
\mathl{\int_a^b g(s) ds}{} komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen
\mathl{g_1 , \ldots , g_n}{} aus. Dann setzt man
\mathdisp {\int_a^b g(s) ds := (\int_a^b g_1(s) ds) v_1 + \cdots + (\int_a^b g_n(s) ds)v_n} { . }
Das Ergebnis ist ein Vektor in $V$, der unabhängig von der gewählten Basis ist. Wenn man die untere Intervallgrenze $a$ fixiert und die obere Intervallgrenze
\mathl{b=t}{} variiert, so bekommt man eine \stichwort {Integralkurve} {} \maabbeledisp {} {I} {V } {t} { \int_{ a }^{ t } g ( s) \, d s } {.} Diese Integralkurve kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Es gilt die folgende Integralabschätzung.




\inputfaktbeweis
{Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {g} {[a,b]} {V } {} eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert }
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t }
{ =} { v }
{ \neq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1 }
{ \defeq }{ { \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Das ergänzen wir zu einer \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_1, u_2 , \ldots , u_n}{} von $V$. Es seien
\mathl{g_1, g_2 , \ldots , g_n}{} die Koordinatenfunktionen von $g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ v }
{ =} { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t }
{ =} { { \left( \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t \right) } u_1 + \cdots + { \left( \int_{ a }^{ b } g_n ( t) \, d t \right) } u_n }
{ =} { { \left( \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t \right) } u_1 }
{ } { }
} {} {}{,} da ja $v$ ein Vielfaches von $u_1$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich $0$ sind. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t } \Vert }
{ =} { \betrag { \int_{ a }^{ b } g_1 ( t) \, d t } }
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } \betrag { g_1(t) } \, d t }
{ \leq} { \int_{ a }^{ b } {\sqrt{ (g_1(t))^2 + \cdots + (g_n(t))^2 } } \, d t }
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g_1(t) u_1 + \cdots + g_n(t) u_n} \Vert \, d t }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_{ a }^{ b } \Vert {g(t)} \Vert \, d t }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}

}







\zwischenueberschrift{Differential- und Integralgleichungen}

Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.




\inputfaktbeweis
{Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein stetiges \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w) }
{ \in }{I \times U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben.}
\faktfolgerung {Dann ist eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbeledisp {v} {J} {U } {t} {v(t) } {,} auf einem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J }
{ \subseteq }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0 }
{ \in }{J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{  \zusatzklammer {insbesondere muss $v$ differenzierbar sein} {} {}}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { , }
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t) }
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t_0) }
{ =} { w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(t) }
{ = }{ f(t,v(t)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.}
{}\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(s) }
{ = }{ f(s,v(s)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s }
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } v'(s) \, d s }
{ =} { w+ v(t)-v(t_0) }
{ =} { v(t) }
{ } { }
} {}{}{.}}
{}

}







\zwischenueberschrift{Der Satz von Picard-Lindelöf}

Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

\inputfaktbeweis
{Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld \definitionsverweis {stetig}{}{} sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w) }
{ \in }{ I \times U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
\mathbed {J} {mit}
{t_0 \in J \subseteq I} {}
{} {} {} {} derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige \definitionsverweis {Lösung für das Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { }
existiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{Nach Lemma 53.3 ist eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {v} {J} {V } {} eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{} genau dann, wenn $v$ die Integralgleichung
\mathdisp {v(t)= w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s} { }
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung \zusatzklammer {man spricht von einem \stichwort {Funktional} {}} {} {}
\mathdisp {\psi \longmapsto (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )} { }
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$ \zusatzklammer {aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$.} {} {} mit Werten in $V$. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als \definitionsverweis {vollständig}{}{} und das Funktional als \definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{} nachweisen. \teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
\mathdisp {(t_0,w) \in J' \times U { \left( w,\epsilon \right) } \subseteq I \times U} { }
und ein
\mathl{L \in \R_{\geq 0}}{} mit
\mathdisp {\Vert {f(t,v)-f(t, \tilde{v}) } \Vert \leq L \Vert {v - \tilde{v}} \Vert \text{ für alle } t \in J' \text{ und } v,\tilde{v} \in U { \left( w,\epsilon \right) }} { . }
Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von
\mathl{J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }}{,} also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in
\mathl{I \times U}{} liegt. Aufgrund von Satz 22.7 gibt es ein
\mathl{M \in \R_+}{} mit
\mathdisp {\Vert {f(t,v)} \Vert \leq M \text{ für alle } (t,v) \in J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }} { }
\zusatzklammer {da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt} {} {.} Wir ersetzen nun $J'$ durch ein kleineres Intervall
\mathl{J=[t_0- \delta,t_0+ \delta ] \subseteq J'}{} mit
\mathl{\delta >0}{,}
\mathl{\delta \leq \epsilon/M}{} und $\delta \leq 1/2L$.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun die Menge der \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{\zusatzfussnote {Dabei fassen wir $w \in U$ als konstante Abbildung \maabbele {} {J} {U } {t} {w } {,} auf} {.} {}}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{C }
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi(t)- w} \Vert \leq \epsilon \text{ für alle } t \in J \right\} } }
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi- w} \Vert \leq \epsilon \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Dabei wird also $C$ mit der \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{} auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach Satz 53.1 und nach Aufgabe 49.12 wieder ein vollständiger metrischer Raum.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung \maabbeledisp {H} {C} {C } {\psi} {H(\psi) = (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s ) } {.} Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass
\mathl{H(\psi)}{} wieder zu $C$ gehört. Für
\mathl{t \in J}{} ist aber nach Satz 53.2
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { H(\psi)(t) - w} \Vert }
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi(s)) \, d s } \Vert }
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {f(s,\psi(s))} \Vert \, d s } }
{ \leq} { \betrag { t-t_0 } M }
{ \leq} { \frac{ \epsilon}{M} M }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{,} und
\mathl{H(\psi)}{} ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
\mathl{\psi_1,\psi_2 \in C}{} gegeben. Für ein
\mathl{t \in J}{} ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert { H(\psi_1)(t)- H(\psi_2)(t) } \Vert }
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_1(s)) \, d s - \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_2(s)) \, d s } \Vert }
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } (f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))) \, d s } \Vert }
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert { f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))} \Vert \, d s } }
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } L \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s } }
{ \leq} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert \, d s } }
{ \leq} { L \betrag { t-t_0 } \cdot \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert }
{ \leq} { \frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert }
} {}{.} Da dies für jedes
\mathl{t \in J}{} gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { H(\psi_1)- H(\psi_2) } \Vert }
{ \leq} {\frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. es liegt eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement
\mathl{\psi \in C}{,} und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung \maabb {v} {J} {V } {} gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(t) }
{ =} {w + \int_{t_0}^t f(s,v(s)) ds }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
}

{}{}{} und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.}
{}}




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