Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 53

In dieser Vorlesung werden wir wesentliche Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit stellen und ihn anschließend beweisen.

Supremumsnorm und Abbildungsräume

Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,{\left(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T\right)}}\,$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder ${}\infty$.

Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also ${}T$ eine Menge und ${}E$ sei ein euklidischer Vektorraum. In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung

$f\colon T\longrightarrow E$

${}\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,{\left(\Vert {f(x)}\Vert ,x\in T\right)}}\,$

und nennt dies das Supremum (oder die Supremumsnorm) von ${}f$ (falls das Supremum nicht existiert, ist dies als ${}\infty$ zu interpretieren).

Wir setzen  ${}M=\operatorname {Abb} (T,E)$;  dies ist ein (i.A. unendlichdimensionaler) reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften (die geeignet zu interpretieren sind, falls ${}\infty$ auftritt).

1. Es ist  ${}\Vert {f}\Vert \geq 0$  für alle  ${}f\in M$. 
2. Es ist  ${}\Vert {f}\Vert =0$  genau dann, wenn  ${}f=0$  ist.
3. Für  ${}\lambda \in \mathbb {R}$  und  ${}f\in M$  gilt

   ${}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$

4. Für  ${}g,f\in M$  gilt

   ${}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$

Wenn ${}T$ ein metrischer Raum ist, so betrachtet man

${}C={\left\{f:T\rightarrow E\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Dieser ist ein reeller Untervektorraum von ${}M$. Wenn  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$  nichtleer, abgeschlossen und beschränkt ist, so ist nach Satz 22.7 das Supremum von ${}\Vert {f(x)}\Vert$, ${}x\in T$, gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein  ${}x\in T$  derart, dass  ${}\Vert {f(x')}\Vert \leq \Vert {f(x)}\Vert$  für alle  ${}x'\in T$  gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der Maximumsnorm.

Satz

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$  eine kompakte Teilmenge, es sei ${}E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei  ${}C=C(T,E)$  der Vektorraum der stetigen Abbildungen von ${}T$ nach ${}E$.

Dann ist ${}C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.

Beweis

Es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow E$

eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem  ${}\epsilon >0$  gibt es ein  ${}n_{0}\in \mathbb {N}$  derart, dass für  ${}n,m\geq n_{0}$  die Beziehung

${}\Vert {f_{n}(x)-f_{m}(x)}\Vert \leq \epsilon \,$

für alle  ${}x\in T$} gilt. Daher ist für jedes  ${}x\in T$  die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in ${}E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge ${}f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung

$f\colon T\longrightarrow E,\,x\longmapsto f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$

ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen  ${}\epsilon >0$  stets ein ${}n_{0}$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle  ${}x\in T$  gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen ${}f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Lemma 26.4 ist daher ${}f$ stetig und daher ist  ${}f\in C$.  

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Integration von stetigen Wegen

Für eine stetige Kurve

$g\colon I\longrightarrow V$

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für ${}a,b\in I$ das Integral ${}\int _{a}^{b}g(s)ds$ komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen ${}g_{1},\ldots ,g_{n}$ aus. Dann setzt man

$\int _{a}^{b}g(s)ds:=(\int _{a}^{b}g_{1}(s)ds)v_{1}+\cdots +(\int _{a}^{b}g_{n}(s)ds)v_{n}.$

Das Ergebnis ist ein Vektor in ${}V$, der unabhängig von der gewählten Basis ist. Wenn man die untere Intervallgrenze ${}a$ fixiert und die obere Intervallgrenze ${}b=t$ variiert, so bekommt man eine Integralkurve

$I\longrightarrow V,\,t\longmapsto \int _{a}^{t}g(s)\,ds.$

Diese Integralkurve kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Es gilt die folgende Integralabschätzung.

Satz

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$g\colon [a,b]\longrightarrow V$

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

Beweis

Wenn  ${}\int _{a}^{b}g(t)\,dt=0$  ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also

${}\int _{a}^{b}g(t)\,dt=v\neq 0\,.$

Es sei  ${}u_{1}:={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$.  Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$. Es seien ${}g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}$ die Koordinatenfunktionen von ${}g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

${}{\begin{aligned}v&=\int _{a}^{b}g(t)\,dt\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1}+\cdots +{\left(\int _{a}^{b}g_{n}(t)\,dt\right)}u_{n}\\&={\left(\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)}u_{1},\end{aligned}}$

da ja ${}v$ ein Vielfaches von ${}u_{1}$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich ${}0$ sind. Daher ist

${}{\begin{aligned}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert &=\vert {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt}\vert \\&\leq \int _{a}^{b}\vert {g_{1}(t)}\vert \,dt\\&\leq \int _{a}^{b}{\sqrt {(g_{1}(t))^{2}+\cdots +(g_{n}(t))^{2}}}\,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g_{1}(t)u_{1}+\cdots +g_{n}(t)u_{n}}\Vert \,dt\\&=\int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt.\end{aligned}}$

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Differential- und Integralgleichungen

Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$. Es sei  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  vorgegeben.

Dann ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow U,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall  ${}J\subseteq I$  mit  ${}t_{0}\in J$  genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems  (insbesondere muss ${}v$ differenzierbar sein)

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt.

Beweis

Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist

${}v(t_{0})=w\,$

und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt  ${}v'(t)=f(t,v(t))$.  Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass ${}v$ differenzierbar ist.
Wenn umgekehrt ${}v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist  ${}v'(s)=f(s,v(s))$  und daher

${}w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds=w+\int _{t_{0}}^{t}v'(s)\,ds=w+v(t)-v(t_{0})=v(t)\,.$

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Der Satz von Picard-Lindelöf

Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  ein offenes Intervall ${}J$ mit ${}t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

existiert.

Beweis

Nach Lemma 53.3 ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung (man spricht von einem Funktional)

$\psi \longmapsto (t\mapsto w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds)$

einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in ${}t$ (aus einem gewissen Teilintervall von ${}I$ mit Werten in ${}V$). Die Fixpunkteigenschaft  ${}H(\psi )=\psi$  bedeutet gerade, dass  ${}\psi (t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))ds$  ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach ${}V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als vollständig und das Funktional als stark kontrahierend nachweisen. Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung

${}(t_{0},w)\in J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}\subseteq I\times U\,$

und ein  ${}L\in \mathbb {R} _{\geq 0}$  mit

${}\Vert {f(t,v)-f(t,{\tilde {v}})}\Vert \leq L\Vert {v-{\tilde {v}}}\Vert \,$

für alle ${}t\in J'$ und ${}v,{\tilde {v}}\in U{\left(w,\epsilon \right)}$. Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von ${}J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}$, also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in ${}I\times U$ liegt. Aufgrund von Satz 22.7 gibt es ein  ${}M\in \mathbb {R} _{+}$  mit

$\Vert {f(t,v)}\Vert \leq M{\text{ für alle }}(t,v)\in J'\times U{\left(w,\epsilon \right)}$

(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt). Wir ersetzen nun ${}J'$ durch ein kleineres Intervall

${}J=[t_{0}-\delta ,t_{0}+\delta ]\subseteq J'\,$

mit  ${}\delta >0$,   ${}\delta \leq \epsilon /M$  und  ${}\delta \leq 1/(2L)$. 
Wir betrachten nun die Menge der stetigen Abbildungen

${}{\begin{aligned}C&={\left\{\psi :J\rightarrow V\mid \psi {\text{ stetig}},\,\Vert {\psi (t)-w}\Vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}t\in J\right\}}\\&={\left\{\psi :J\rightarrow V\mid \psi {\text{ stetig}},\,\Vert {\psi -w}\Vert \leq \epsilon \right\}}.\end{aligned}}$

Dabei wird also ${}C$ mit der Maximumsnorm auf ${}J$ versehen. Dieser Raum ist nach Satz 53.1 und nach Aufgabe 49.12 wieder ein vollständiger metrischer Raum.
Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall ${}J$ bzw. der zugehörigen Menge ${}C$ die Abbildung

$H\colon C\longrightarrow C,\,\psi \longmapsto H(\psi )=(t\mapsto w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds).$

Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass ${}H(\psi )$ wieder zu ${}C$ gehört. Für  ${}t\in J$  ist aber nach Satz 53.2

${}{\begin{aligned}\Vert {H(\psi )(t)-w}\Vert &=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi (s))\,ds}\Vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {f(s,\psi (s))}\Vert \,ds}\vert \\&\leq \vert {t-t_{0}}\vert M\\&\leq {\frac {\epsilon }{M}}M\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

und ${}H(\psi )$ ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.
Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien  ${}\psi _{1},\psi _{2}\in C$  gegeben. Für ein  ${}t\in J$  ist

${}{\begin{aligned}\Vert {H(\psi _{1})(t)-H(\psi _{2})(t)}\Vert &=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi _{1}(s))\,ds-\int _{t_{0}}^{t}f(s,\psi _{2}(s))\,ds}\Vert \\&=\Vert {\int _{t_{0}}^{t}(f(s,\psi _{1}(s))-f(s,\psi _{2}(s)))\,ds}\Vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {f(s,\psi _{1}(s))-f(s,\psi _{2}(s))}\Vert \,ds}\vert \\&\leq \vert {\int _{t_{0}}^{t}L\Vert {\psi _{1}(s)-\psi _{2}(s)}\Vert \,ds}\vert \\&=L\cdot \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\psi _{1}(s)-\psi _{2}(s)}\Vert \,ds}\vert \\&\leq L\cdot \vert {\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \,ds}\vert \\&\leq L\vert {t-t_{0}}\vert \cdot \Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert .\end{aligned}}$

Da dies für jedes  ${}t\in J$  gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt

${}\Vert {H(\psi _{1})-H(\psi _{2})}\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert {\psi _{1}-\psi _{2}}\Vert \,,$

d.h. es liegt eine starke Kontraktion vor. Daher besitzt ${}H$ ein eindeutiges Fixelement  ${}\psi \in C$,  und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von ${}J$.
Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in ${}C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall ${}J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung ${}v\colon J\rightarrow V$ gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))ds\,$

und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu ${}C$ gehören muss.

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