Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/2/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abzählbarkeit einer Menge $M$.
2. Eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$.
3. Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq {ℝ}^2$ und einer Spitze $P\in {ℝ}^3$.
4. Ein zusammenhängender topologischer Raum $X$.
5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt  $P\in M$  zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\phi :M⟶N,$

   wobei $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

6. Das Wegintegral zu einer $1$-Differentialform $\omega \in {ℰ}^1(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma :[a,b]\to M$.
7. Eine geschlossene Differentialform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
8. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f:M⟶{ℝ}_{\ge 0}$

   auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,𝒜,\mu )$.
3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion $f:[a,b]\to {ℝ}_{\ge 0}$.
4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von $30$ cm und wird mit Öl und mit $25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von $4$ cm und eine Höhe von $\mathrm{0,5}$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von $\mathrm{0,1}$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von $1$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit $\pi =\mathrm{3,14}$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ -1\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 1\end{array}\right)$

im ${ℝ}^3$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $M$ eine Menge und es sei $T_n\uparrow M$ eine Ausschöpfung von $M$ mit Teilmengen $T_n\subseteq M$, $n\in \mathbb{N}$. Zu jedem $n\in \mathbb{N}$ sei $A_n\subseteq M\times ℝ$ der Subgraph zur Indikatorfunktion $e_{T_n}$. Zeige, dass die $A_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Ausschöpfung von $M\times [0,1]$ bilden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

$f:M⟶{ℝ}_{\ge 0}$

auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,𝒜,\mu )$.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei $G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall $[0,\pi ]$, wobei $G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${\lambda }^2$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a) ${\int }_{G}xd{\lambda }^2$

b) ${\int }_{G}yd{\lambda }^2$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${ℝ}^2$,

$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-5\\ 7\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right),$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

$S^1=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |(x,y)|=1\},ℝ\text{ und }ℝ\setminus \{0\}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_P(\phi ):T_P{ℝ}^2⟶T_{\phi (P)}X$

in jedem Punkt  $P\in {ℝ}^2$  surjektiv ist.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma :[1,c]⟶{ℝ}^2,t⟼(t,t^3),$

(mit $c\ge 1$) und

$\phi :{ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}⟶{ℝ}^3,(u,v)⟼(u^3,u^2+v^2,u^{-1}{v}^{-1}),$

und die Differentialform

$\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz$

auf dem ${ℝ}^3$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ auf dem ${ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${\phi }^{\ast }\omega$ zum Weg $\gamma$ in Abhängigkeit von $c$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^2,(x,y,z)⟼(xy{z}^2,xy-z^3).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\stackrel{2}{\bigwedge }{T}_P(\phi ):\stackrel{2}{\bigwedge }{T}_P{ℝ}^3⟶\stackrel{2}{\bigwedge }{T}_{\phi (P)}{ℝ}^2$

im Punkt  $P=(1,3,5)$  bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t),$

die durch

$f(t)=\frac{{\sin }^3(t^4)}{1+t^2}$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von $f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von $fdt$.

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei  $M\ne \mathrm{\varnothing }$  eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

$M_0\subseteq M_1\subseteq M_2\subseteq \dots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_n=M$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M_i$ die Dimension $i$ besitzt.

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