Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/2/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abzählbarkeit einer Menge ${}M$.
2. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
3. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und einer Spitze ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.
4. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt ${}P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N,$

   wobei ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

6. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
7. Eine geschlossene Differentialform ${}\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
8. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Eindeutigkeitssatz für Maße.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
3. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) zu einer stetigen Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.
4. Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von ${}30$ cm und wird mit Öl und mit ${}25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von ${}4$ cm und eine Höhe von ${}0{,}5$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von ${}0{,}1$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von ${}1$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}T_{n}\uparrow M$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit Teilmengen ${}T_{n}\subseteq M$, ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R}$ der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$. Zeige, dass die ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung von ${}M\times [0,1]$ bilden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}G$ der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall ${}[0,\pi ]$, wobei ${}G$ mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{2}$ versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a) ${}\int _{G}x\,d\lambda ^{2}$

b) ${}\int _{G}y\,d\lambda ^{2}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

$S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$

(mit $c\geq 1$) und

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$

und die Differentialform

${}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ in Abhängigkeit von ${}c$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt ${}P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

die durch

${}f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von ${}f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von ${}fdt$.

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

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