Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/19/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 3 5 2 3 4 5 3 4 6 10 4 2 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Primzahl.
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Ein lokales Minimum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  4. Der Grenzwert zu einer auf definierten Funktion

    in einem Punkt .

  5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion .
  6. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Rechenregeln für stetige Funktionen
  2. Die Taylor-Formel für eine -mal differenzierbare Funktion
    auf einem reellen Intervall für einen inneren Punkt .
  3. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.


Aufgabe * (2 Punkte)

wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

  1. Der Mörder ist oder oder oder .
  2. Wenn der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder oder ist der Mörder.
  3. sind alle verschieden.
  4. Es gibt genau einen Mörder.
  5. Wenn nicht der Mörder ist, dann ist nicht der Mörder.
  6. ist genau dann der Mörder, wenn der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?


Aufgabe * (2 Punkte)

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine surjektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge derart gibt, dass man als Abbildung

auffassen kann ( und unterscheiden sich nur hinsichtlich des Definitionsbereiches) und dass bijektiv ist.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch teilbar ist.

  1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
  2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Körper zu jedem Element das Element mit eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei . Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Lösungsmenge in für die Ungleichung


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder

gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.


Aufgabe * (10 (1+1+4+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Berechne die erste Ableitung von .
  2. Berechne die zweite Ableitung von .
  3. Erstelle (und beweise) eine Formel für die -te Ableitung von ().
  4. Bestimme das Taylorpolynom zu im Punkt vom Grad .
  5. Bestimme die Taylorreihe zu im Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei die Menge aller reellen -Matrizen

die die Bedingung

erfüllen. Zeige, dass kein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.