Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	9	5	6	3	4	4	3	3	2	4	2	2	2	4	4	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer reellen Zahl.
2. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${}z$.
3. Die reelle Exponentialfunktion.
4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
5. Die Matrizenmultiplikation.
6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$.
2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
3. Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ und ${}P$ Mengen und es seien

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

$G\colon M\longrightarrow N,\,y\longmapsto G(y),$

und

$H\colon N\longrightarrow P,\,z\longmapsto H(z),$

Abbildungen. Zeige, dass dann

${}H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F\,$

gilt.

Aufgabe * (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, ${}A$ und ${}B$, schwimmen auf einer ${}50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer ${}A$ schwimmt ${}3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer ${}B$ schwimmt ${}2m/s$.

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen ${}0$ und ${}100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer ${}A$ (und Schwimmer ${}B$) nach ${}30$ Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer ${}A$ den Schwimmer ${}B$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$ ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen ${}a^{n}$ man (ausgehend von ${}a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Zeige, dass in ${}\mathbb {R}$ die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Zu jedem ${}x>0$ gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}{\frac {1}{n}}\leq x$.
2. Zu zwei reellen Zahlen

   ${}x<y\,$

   gibt es eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit

   ${}x<{\frac {n}{k}}<y\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 2$, für welches

$f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {Q}$, die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein ${}N\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass entweder alle ${}x_{n}$, ${}n\geq N$, positiv oder negativ sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\,.$

Zeige, dass ${}f$ zwischen ${}1$ und ${}2$ eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{4}}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen ${}x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

und ein kompaktes Intervall ${}[a,b]\subset \mathbb {R}$ aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix und es seien

$K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}$

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.