Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	2	9	5	6	3	4	4	3	3	2	4	2	2	2	4	4	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer reellen Zahl.
2. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl $z$.
3. Die reelle Exponentialfunktion.
4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion $f:]a,b[\to ℝ$.
5. Die Matrizenmultiplikation.
6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von $ℝ$.
2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
3. Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

$G:M⟶N,y⟼G(y),$

und

$H:N⟶P,z⟼H(z),$

Abbildungen. Zeige, dass dann

$H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F$

gilt.

Aufgabe * (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, $A$ und $B$, schwimmen auf einer $50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer $A$ schwimmt $3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer $B$ schwimmt $2m/s$.

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen $0$ und $100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer $A$ (und Schwimmer $B$) nach $30$ Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer $A$ den Schwimmer $B$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und  $a\in K$  ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen $a^n$ man (ausgehend von $a$ und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Zeige, dass in $ℝ$ die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Zu jedem  $x>0$  gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit  $\frac{1}{n}\le x$. 
2. Zu zwei reellen Zahlen

   $x<y$

   gibt es eine rationale Zahl $n/k$ (mit $n\in \mathbb{Z},k\in {\mathbb{N}}_{+}$) mit

   $x<\frac{n}{k}<y.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein reelles Polynom $f$ vom Grad $\le 2$, für welches

$f(1)=10,f(-2)=1,f(3)=16$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $\mathbb{Q}$, die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein  $N\in \mathbb{N}$  derart gibt, dass entweder alle $x_n$,  $n\ge N$,  positiv oder negativ sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f(x)=2x^3-4x+5.$

Zeige, dass für alle $x\in ℝ$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

$|x-3|\le \frac{1}{800},$

dann ist

$|f(x)-f(3)|\le \frac{1}{10}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}.$

Zeige, dass $f$ zwischen $1$ und $2$ eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von $\frac{1}{4}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen $x\mapsto x^{\alpha }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

$g:ℝ⟶ℝ$

und ein kompaktes Intervall  $[a,b]\subset ℝ$  aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen $M_{𝔳}^{𝔲}$ und $M_{𝔲}^{𝔳}$ für die Standardbasis $𝔲$ und die durch die Vektoren

$v_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\text{ und }{v}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

gegebene Basis $𝔳$ im ${ℝ}^4$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $B$ eine $n\times p$-Matrix und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien

$K^p\stackrel{B}{⟶}{K}^n\stackrel{A}{⟶}{K}^m$

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt $A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  eine Matrix mit $n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.