Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/28/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 1 9 4 6 3 4 4 3 3 2 4 2 2 2 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag einer reellen Zahl.
  2. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  3. Die reelle Exponentialfunktion.
  4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  5. Die Matrizenmultiplikation.
  6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über beschränkte Teilmengen von .
  2. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
  3. Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.


Aufgabe * (1 Punkt)

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe * (9 (2+1+2+2+2) Punkte)

Zwei Schwimmer, und , schwimmen auf einer -Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer schwimmt (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer schwimmt .

  1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen und Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
  2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer (und Schwimmer ) nach Sekunden?
  3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
  4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
  5. Wie oft überrundet Schwimmer den Schwimmer ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein beliebiges Element. Bestimme, welche Potenzen man (ausgehend von und bei optimaler Verwertung von Zwischenschritten) mit einer, zwei, drei oder vier Multiplikationen erhalten kann.


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Zeige, dass in einem archimedisch angeordneten Körper die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. Zu jedem gibt es eine natürliche Zahl mit .
  2. Zu zwei Elementen gibt es eine rationale Zahl (mit ) mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Cauchy-Folge in , die keine Nullfolge sei. Zeige, dass es ein derart gibt, dass entweder alle , , positiv oder negativ sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass zwischen und eine Nullstelle besitzt, und bestimme diese bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung für differenzierbare Funktionen

und ein kompaktes Intervall aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (es muss nicht gezeigt werden, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit im Innern des Intervalls angenommen wird).


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.