Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 5 2 4 4 3 4 2 4 3 5 3 1 7 3 6 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Teilmenge einer Menge .
  2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  4. Die Exponentialreihe für .
  5. Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.
  2. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
  3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen reeller Zahlen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichtstetige Funktion

derart, dass sämtliche Hintereinanderschaltungen unendlich oft differenzierbar sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

über .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über dem Körper der rationalen Funktionen .

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme, ob Eigenwerte besitzt.