Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/32/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 1 2 4 1 7 4 3 1 5 4 6 3 4 2 2 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Eine Reihe von reellen Zahlen .
  4. Der Arkuskosinus.
  5. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  6. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Quadratwurzel von .
  2. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
  3. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.


Aufgabe (1 Punkt)

Was fällt an dem folgenden Satz auf (aus der Sendung Börse vor acht, 2020): „Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um steigern“.


Aufgabe * (2 Punkte)

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von cm und die Flasche hat einen Durchmesser von cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?


Aufgabe * (4 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu einer vorgegebenen Zahl entscheidet, ob eine Primzahl ist oder nicht.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
    • Er kann einen Speicher leeren.
    • Er kann einen Speicherinhalt um erhöhen.
    • Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl wechseln.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

mit . Das Programm soll „ ist eine Primzahl“ oder „ ist keine Primzahl“ ausdrucken und anschließend anhalten.


Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten und der Zusammenhang

besteht.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf und den um vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von

  1. Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
  2. Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem ) beliebig groß werden kann.


Aufgabe * (3 Punkte)

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) derart, dass die Steigung der Sinusfunktion in gleich der Gesamtsteigung von zwischen und ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Spezialfall, wo die linke der beteiligten Matrizen eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist.