Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/32/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	1	2	4	1	7	5	3	5	4	6	3	4	2	2	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestätige die folgende Identität.

{}3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Was fällt an dem folgenden Satz auf (aus der Sendung Börse vor acht, 2020): „Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um ${}70\%$ steigern“.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von ${}{\frac {1}{2}}$ cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von ${}2$ cm und die Flasche hat einen Durchmesser von ${}6$ cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu einer vorgegebenen Zahl ${}n\geq 2$ entscheidet, ob ${}n$ eine Primzahl ist oder nicht.

Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.

Er kann einen Speicher leeren.

Er kann einen Speicherinhalt um ${}1$ erhöhen.

Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen Speicher schreiben.

Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl wechseln.

Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.

Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

(n,0,0,0,0,0,0,\ldots )

mit ${}n\geq 2$ . Das Programm soll „ ${}n$ ist eine Primzahl“ oder „ ${}n$ ist keine Primzahl“ ausdrucken und anschließend anhalten.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten ${}{\binom {n}{k}}$ und ${}{\binom {n}{k+1}}$ der Zusammenhang

{}{\binom {n}{k+1}}={\binom {n}{k}}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}\,

besteht.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Folge

{}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,

auf Konvergenz.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2xe^{3x}.

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$ -te Ableitung ( $n\geq 1$ ) von ${}f$ gleich

{}f^{(n)}(x)={\left(3^{n}\cdot 2x+3^{n-1}\cdot 2n\right)}e^{3x}\,

ist.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ und den um ${}d\in \mathbb {R}$ vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von

{}h(x)={\sqrt {x}}+d\,.

Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem ${}d$ ) beliebig groß werden kann.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) ${}a\in [0,{\frac {\pi }{2}}]$ derart, dass die Steigung der Sinusfunktion ${}\operatorname {sin}$ in ${}a$ gleich der Gesamtsteigung von ${}\operatorname {sin}$ zwischen ${}0$ und ${}{\frac {\pi }{2}}$ ist.