Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/42/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	2	2	4	4	5	4	6	7	2	6	3	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Ein archimedisch angeordneter Körper ${}K$.
3. Eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.
6. Die Dimension eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ (${}V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms ${}F\in K[X]$.
2. Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.
3. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}A(n)$ eine Aussage(nform), in die man eine natürliche Zahl einsetzen kann. Diskutiere den Unterschied zwischen den beiden Aussagen

${\left(\forall nA(n)\right)}\rightarrow {\left(\forall nA(n+1)\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\forall n{\left(A(n)\rightarrow A(n+1)\right)}.$

Was ist die mathematische Relevanz der beiden Aussagen?

Aufgabe * (1 Punkt)

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Gleichung

${}\prod _{1\leq i<j\leq n}(j-i)=\prod _{k=1}^{n-1}(k!)=(n-1)!\cdot (n-2)!\cdots 3!\cdot 2!\cdot 1!\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme, für welche reellen Zahlen ${}x$ die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }n^{n}x^{n}$

konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[1,2]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/8$.

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

a) Man gebe ein quadratisches Polynom an, dessen Graph die Diagonale und die Gegendiagonale bei ${}y=1$ jeweils tangential schneidet.

b) Man zeige, dass der Graph des Lösungspolynoms aus Teil a) innerhalb des oberen, durch die Diagonale und die Gegendiagonale begrenzten Viertels der Ebene liegt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen der ${}x$-Achse und dem Graphen des Kosinus hyperbolicus oberhalb des Intervalls ${}[0,5]$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(7)\,\,\,r(u+v)=ru+rv$

erfüllt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

$(0,1,0)$

als Linearkombination der Vektoren

$(9,6,5),(2,2,5){\text{ und }}(7,3,4)$

aus.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Diagonalelement von ${}M$ ein Eigenwert zu ${}M$ sein muss.