Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/47/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	2	2	1	1	6	4	4	4	2	5	5	2	1	2	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
2. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.
3. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}-\infty$.
4. Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis ${}b>0$.
5. Der Kosinus hyperbolicus.
6. Ähnliche Matrizen ${}M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die allgemeine binomische Formel für ${}(a+b)^{n}$.
2. Die Produktregel für reelle Folgen.
3. Der Basisaustauschsatz.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}p,q,r$ Aussagen. Zeige, dass

${\left((p\rightarrow q)\wedge (p\rightarrow r)\right)}\leftrightarrow {\left(p\rightarrow (q\wedge r)\right)}$

eine Tautologie ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer einzigen Reihe von ${}n$ hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau ${}n-1$ Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}c$	${}a$	${}a$	${}a$
${}b$	${}d$	${}d$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}a$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (c\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis ${}n=6$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Setze in das Polynom ${}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\sqrt {10000000000000000000000000000}}$

rational ist oder nicht.

Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\sum _{n=0}^{n}a_{n}$ eine reelle Reihe mit ${}a_{n}\neq 0$ für alle ${}n$. Die Folge der Quotienten

${}x_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\,$

konvergiere gegen eine reelle Zahl ${}x$ mit ${}-1<x<1$. Zeige unter Verwendung des Quotientenkriteriums, dass die Reihe konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass der Graph des Kosinus hyperbolicus nicht überall oberhalb der Standardparabel verläuft.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von ${}g(x)={\frac {(f(x))^{n}}{f(x^{n})}}$ für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+\sin x,$

genau zwei Nullstellen besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,x,y$ positive reelle Zahlen und es gelte

${}a^{x}<b^{y}\,.$

Zeige, dass es positive rationale Zahlen ${}c,z$ mit

${}a^{x}<c^{z}<b^{y}\,$

gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die nicht Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.

${}\,$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ und ${}{\mathfrak {z}}=z_{1},\ldots ,z_{m}$ Basen von ${}W$. Es seien ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis ${}(v_{1},0),\ldots ,(v_{n},0),(0,w_{1}),\ldots ,(0,w_{m})$ zur Basis ${}(u_{1},0),\ldots ,(u_{n},0),(0,z_{1}),\ldots ,(0,z_{m})$ vom Produktraum ${}V\times W$ beschrieben?

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$-Tupeln der Länge ${}9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.