Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/47/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 3 2 2 2 1 1 6 4 4 4 2 5 5 2 1 2 6 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  2. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  3. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge gegen .
  4. Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis .
  5. Der Kosinus hyperbolicus.
  6. Ähnliche Matrizen .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die allgemeine binomische Formel für .
  2. Die Produktregel für reelle Folgen.
  3. Der Basisaustauschsatz.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien Aussagen. Zeige, dass

eine Tautologie ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Ein Schokoriegel der Marke „Höcker und Kerbe“ besteht aus einer Reihe von hintereinanderliegenden höckerförmigen Schokostücken, die jeweils durch eine Einkerbung (der Sollbruchstelle) miteinander verbunden sind. Zeige mit und ohne Induktion, dass man, egal bei welcher Teilungsstrategie, genau Teilungsschritte braucht, um den Schokoriegel vollständig in seine Stücke aufzuteilen.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle das Pascalsche Dreieck bis .


Aufgabe * (2 Punkte)

Setze in das Polynom die Zahl ein.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

rational ist oder nicht.


Aufgabe (1 Punkt)

Erläutere die geometrische Relevanz des geometrischen Mittels.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine reelle Reihe mit für alle . Die Folge der Quotienten

konvergiere gegen eine reelle Zahl mit . Zeige unter Verwendung des Quotientenkriteriums, dass die Reihe konvergiert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass der Graph des Kosinus hyperbolicus nicht überall oberhalb der Standardparabel verläuft.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von für .


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

genau zwei Nullstellen besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen und es gelte

Zeige, dass es positive rationale Zahlen mit

gibt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion

die nicht Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.











Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg











Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es seien und die Übergangsmatrizen. Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis zur Basis vom Produktraum beschrieben?


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von Tupeln der Länge , also die Zeilenvektoren in der Matrix

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.