Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/49/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 6 3 5 3 3 1 2 5 2 5 5 4 4 4 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine ungerade Funktion .
  3. Die Kosinusreihe zu .
  4. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  5. Ein Vektorraum über einem Körper .
  6. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
  2. Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
  3. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für eine stetige Funktion
    auf einem reellen Intervall .


Aufgabe * (6 (3+2+1) Punkte)

In einer Äpfelpackung befinden sich stets sechs Äpfel, die zusammen ein Kilo wiegen sollen, wobei eine Toleranz zwischen und Gramm erlaubt ist. Der kleinste Apfel in der Packung muss mindestens Prozent des Gewichts des größten Apfels der Packung haben.

  1. Wie schwer (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung maximal sein?
  2. Wie leicht (in gerundeten Gramm) kann ein Apfel in einer Packung minimal sein?
  3. Um wie viel Prozent ist der größtmögliche Apfel schwerer als der kleinstmögliche Apfel?


Aufgabe * (3 Punkte)

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich -Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern widergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.


Aufgabe * (5 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu zwei einziffrigen natürlichen Zahl

das Produkt berechnet, und zwar die Zehneranzahl und die Eineranzahl ausgibt.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die einstellige Zahlen
    (also zwischen und ) enthalten können.
    • Er kann einen Speicher leeren.
    • Er kann einen Speicherinhalt um erhöhen.
    • Er kann zu einem bestimmten Befehl springen.
    • Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl springen.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

Das Programm soll „Das Produkt von“ a „und“ „ist“ c d ausdrucken, wobei ist, und anschließend anhalten.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

seien durch

und

gegeben.

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne auf zwei unterschiedliche Arten.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

    mit , für die die einzige Lösung ist.

  2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

    mit , für die eine Lösung ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Man finde ein Polynom mit , , und .


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei die Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, für welche die Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Potenzreihe mit für alle geraden Indizes eine ungerade Funktion darstellt.


Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten den oberen Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius und den unteren Halbkreis mit Mittelpunkt und Radius .

  1. Skizziere die Situation.
  2. Definiere eine Funktion

    deren Graph mit den beiden Halbkreisen übereinstimmt.

  3. Ist an der Stelle differenzierbar?


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Der Graph der Funktion

und die -Achse begrenzen eine Fläche. Bestimme die Gerade durch den Nullpunkt, die diese Fläche in zwei gleich große Teile unterteilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Der -Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume , die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper . Es sei

für jede -Matrix vom Rang . Zeige


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zu einer ebenen Drehung zu einem Drehwinkel , , über .