Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	6	1	4	4	6	4	6	3	9	5	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

   $y'=f(t,y),$

   wobei

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,y)\longmapsto f(t,y),$

   eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ist.

2. Ein euklidischer Vektorraum.
3. Die Kurvenlänge einer Kurve

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

4. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ${}{\mathbb {C} }$).
5. Die ${}n$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
6. Eine harmonische Funktion

   $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld

   $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   gegebenes Anfangswertproblem.
2. Der Satz über implizite Abbildungen.
3. Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes

   $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=(-4t^{3}+2t^{2}+3t+1)y{\text{ mit }}y(-2)=-5.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die offenen Bälle ${}U=U{\left((0,0),1\right)}$ und ${}V=U{\left((2,0),2\right)}$. Man gebe für jeden Punkt

${}x=(a,b)\in U\cap V\,$

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt ${}x$ an, der ganz innerhalb von ${}U\cap V$ liegt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im ${}\mathbb {R} ^{m}$ (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}h\colon I\rightarrow V$ eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass bei ${}h'(t)\neq 0$ die Gleichheit

${}\Vert {h'(t)}\Vert '={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert \,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere den Lösungsansatz für Zentralfelder und beweise dessen Korrektheit.

Aufgabe * (6 Punkte)

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }-3y'+9y=(t^{2}-8)e^{5t}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}W$ ein euklidischer Vektorraum und

$\varphi \colon I\longrightarrow W$

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

${}{\left(D\varphi \right)}_{t}{\left(1\right)}=\varphi '(t)\,$

besteht.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}f$ ein Polynom in zwei Variablen der Bauart

${}f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\sum _{(r_{1},r_{2})\in \mathbb {N} ^{2},\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}x^{r_{1}}y^{r_{2}}\,.$

Zeige ohne Differentialrechnung, dass ${}f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ${}a_{(r_{1},r_{2})}$ ein ${}\epsilon >0$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$

Aufgabe * (9 (1+4+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y,\,x(y+1)\right).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht injektiv ist.
2. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{<-1}$ injektiv ist.
3. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
4. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$. Welches geometrische Gebilde bilden diese?
5. Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes

   ${}Q=[-1,1]\times [-3,-2]\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=rst+t\sin s\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.