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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/16/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 4 6 1 4 4 6 4 6 3 9 5 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    wobei

    eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ist.

  2. Ein euklidischer Vektorraum.
  3. Die Kurvenlänge einer Kurve
  4. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  5. Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen und .
  6. Eine harmonische Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  2. Der Satz über implizite Abbildungen.
  3. Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten im die offenen Bälle und . Man gebe für jeden Punkt

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Folge im (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass bei die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere den Lösungsansatz für Zentralfelder und beweise dessen Korrektheit.


Aufgabe * (6 Punkte)

Löse die Differentialgleichung


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Intervall, ein reeller Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

besteht.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart

Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe * (9 (1+4+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Zeige, dass nicht injektiv ist.
  2. Zeige, dass die Einschränkung von auf injektiv ist.
  3. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  4. Bestimme die kritischen Punkte von . Welches geometrische Gebilde bilden diese?
  5. Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes


Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von cm und oben am Rand einen Durchmesser von cm. Über Nacht hat es cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .