Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex

\setcounter{section}{47}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven \zusatzklammer {für eine differenzierbare Kurve \maabb {f} {J} {V } {} und eine differenzierbare Umparametrisierung \maabb {h} {I} {J } {}} {} {} ab.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R}^2 } { {\mathbb R}^3 } {(u,v)} {(u^2v^2,u+ \sin v,v^3) } {,} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb R}^3} { {\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} {(x^2y-z^2,xy^2 +yz \exp x ) } {,} und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} in folgenden Schritten. \aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{P \in {\mathbb R}^2}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{Q \in {\mathbb R}^3}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen. }{Berechne explizit die Komposition \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R} ^2 } {.} }{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb R}^2}{} das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R}^2 } {.} }{Berechne das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R}^2 } {} in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb R}^2}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{G \subseteq \R^m}{} und
\mathl{D \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{,} und \maabb {f} {G} {\R^n } {} und \maabb {g} {D} {\R^k } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} derart, dass
\mathl{f(G) \subseteq D}{} gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in
\mathl{P \in G}{} und $g$ in
\mathl{f(P) \in D}{} \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (g \circ f)_j }{ \partial x_i } } (P) }
{ =} { \left( { \frac{ \partial g_j }{ \partial y_1 } } (f(P)) , \, \ldots , \, { \frac{ \partial g_j }{ \partial y_m } } (f(P)) \right) \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (P) \\ \vdots\\ { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (P) \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I \subseteq \R$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 46.3.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {f,g} {G} {W } {} seien \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung \maabbeledisp {h} {G} {\R } {P} { \left\langle f(P) , g(P) \right\rangle } {,} in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} differenzierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (D_v h) (P) }
{ =} { \left\langle f(P) , ( D_v g)(P) \right\rangle + \left\langle ( D_v f)(P) , g (P) \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R} ^2 } { {\mathbb R}^3 } {(u,v)} {(uv,u-v,v^2) } {,} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb R}^3} { {\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} {(xyz^2,y \exp(xz)) } {,} und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} veranschaulichen. \aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb R}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{ {\mathbb R}^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen. }{Berechne explizit die Komposition \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R}^2 } {.} }{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb R}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R}^2 } {.} }{Berechne das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R}^2 } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb R}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktionen
\mathdisp {\R^2 \stackrel{f}{\longrightarrow} \R^3 \stackrel{g}{\longrightarrow} \R^2 \stackrel{h}{\longrightarrow} \R^2} { }
mit
\mathdisp {f(u,v) = (u^2,uv,u-v^2)} { , }

\mathdisp {g(x,y,z) = (x+y^2-z,x^2yz)} { , }
und
\mathdisp {h(r,s) = (r^2s,s^2)} { . }
Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} von
\mathl{h \circ g \circ f}{} in einem beliebigen Punkt
\mathl{P=(u,v)}{} auf vier verschiedene Arten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^m \setminus \{ 0\} } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^n} {\R } {P} { \Vert {f(P)} \Vert } {,} differenzierbar ist und bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene}{}{} Teilmenge. Weiter seien \maabb {f,g} {G } {\R } {} zwei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Wende die Kettenregel und Aufgabe 46.3 auf das Diagramm
\mathdisp {G \stackrel{f,g} \longrightarrow \R \times \R \stackrel{\operatorname{mult} } \longrightarrow \R} { }
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(f \cdot g)\right)_{P} }
{ =} { g(P) \cdot \left(Df \right)_{P} + f(P) \cdot \left(Dg\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}