Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das totale Differential für die Abbildung

${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}.$

Aufgabe

Es seien ${}a,b\in \mathbb {N}$. Bestimme das totale Differential für die Abbildung

${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x^{a}y^{b}.$

Aufgabe

Berechne für die Addition

$+\colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und für die Multiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

das totale Differential.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(xy-2y^{3}+5,\,x^{3}-xy^{2}+y\right),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(4,-3)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy-zy+2z^{2},\sin(x^{2}yz)),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(1,-1,\pi )$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(2,0,5)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit ${}\varphi (v)=w\in W$ für alle ${}v\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential ${}0$.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine total differenzierbare Abbildung mit ${}\left(D\varphi \right)_{P}=0$ für alle ${}P\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ konstant ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbar mit dem Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle ${}a\in {\mathbb {R} }$ die Beziehung

${}\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}V$, ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$- Vektorräume.

1. Es seien ${}L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${}{\mathbb {R} }$- lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$

   ${}{\mathbb {R} }$-linear ist.

2. Es seien ${}f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt ${}P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$

   im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

   ${}\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge eines metrischen Raumes, ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$,

$g\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und ${}b\in L$. Zeige, dass für den Limes

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)=b\,$

genau dann gilt, wenn

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,d{\left(g(x),b\right)}=0\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},xy,\exp x),$

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ${}(3,2)$?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung ${}(-1,-7)$.

d) Berechne den Wert von ${}\varphi$ in diesem Punkt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das totale Differential der Determinante

$\det \colon \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {R} })\longrightarrow {\mathbb {R} },\,M\longmapsto \det M,$

für ${}n=2,3$ an der Einheitsmatrix.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\text{ bei }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ bei }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}$

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art ${}P\mapsto P+v$ mit einem festen Vektor ${}v\in V$, wenn

${}\left(D\varphi \right)_{P}=\operatorname {Id} _{V}\,$

für alle ${}P\in V$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xf(y),$

genau dann im Punkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}0$ stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$

Zusatzaufgabe zur Fußball-EM

Die folgende Aufgabe kann bis zum Ende der EM abgegeben werden. Die zu erreichende Punktezahl ist gleich der Anzahl der Tore, die Deutschland bei dem Turnier (in den regulären Spielzeiten) schießt.

Aufgabe

Beweise die folgende Aussage:

Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt. In dieser Situation gilt:

Es gibt mindestens zwei (gegenüber liegende) Punkte auf dem Fußball (seiner Oberfläche), die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.