Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das totale Differential für die Abbildung


Aufgabe

Seien . Bestimme das totale Differential für die Abbildung


Aufgabe

Berechne für die Addition

und für die Multiplikation

das totale Differential.


Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe

Sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .


Aufgabe

Sei eine total differenzierbare Abbildung mit für alle . Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Seien , und endlichdimensionale -Vektorräume.

  1. Seien und -lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    -linear ist.

  2. Seien und im Punkt differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge eines metrischen Raumes, ein Berührpunkt von ,

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und . Zeige, dass für den Limes

genau dann gilt, wenn

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

a) Berechne das totale Differential der Abbildung

in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt ?

c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung .

d) Berechne den Wert von in diesem Punkt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das totale Differential der Determinante

für an der Einheitsmatrix.


Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Abbildung

auf partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art mit einem festen Vektor , wenn

für alle ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

genau dann im Punkt total differenzierbar ist, wenn in stetig ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung




Zusatzaufgabe zur Fußball-EM

Die folgende Aufgabe kann bis zum Ende der EM abgegeben werden. Die zu erreichende Punktezahl ist gleich der Anzahl der Tore, die Deutschland bei dem Turnier (in den regulären Spielzeiten) schießt.

Aufgabe

Beweise die folgende Aussage:

Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt. In dieser Situation gilt:

Es gibt mindestens zwei (gegenüber liegende) Punkte auf dem Fußball (seiner Oberfläche), die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.




<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)