Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 47

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.


Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Umparametrisierung ) ab.


Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition in folgenden Schritten.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Zeige


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 46.3.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und

seien Abbildungen auf einer offenen Menge , die in Richtung differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung

in Richtung differenzierbar ist, und dass

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition veranschaulichen.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

mit

und

Berechne das totale Differential von in einem beliebigen Punkt auf vier verschiedene Arten.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 46.3 auf das Diagramm

an, um zu zeigen, dass die Gleichung
gilt.




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