Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 48

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Nullpunkt .


Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt im Punkt vom Grad nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von und in vom Grad sein muss.


Aufgabe


a) Schreibe das Polynom

als Polynom in den Variablen und .


b) Bestimme mit Teil a) die Taylor-Polynome von im Entwicklungspunkt .


c) Berechne diese Taylor-Polynome über Ableitungen.


Aufgabe

Bestätige Satz 48.1 für in und bis zur dritten Ableitung.


In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Sei und ein -Tupel natürlicher Zahlen. Es sei . Dann nennt man die Zahl

einen Polynomialkoeffizienten.


Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der (geordneten) Partitionen zum Anzahltupel einer -elementigen Menge gleich

ist.


Aufgabe

In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel

in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich

ist.


Aufgabe

Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich

ist.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Nullpunkt .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Punkt .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Sei . Zeige, dass es maximal ein Polynom vom Grad mit der Eigenschaft geben kann, dass

gilt.





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