Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 41/latex
\setcounter{section}{41}
\zwischenueberschrift{Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{,}
wenn das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfällt und wenn für jede Nullstelle $\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit $\mu_\lambda$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_\lambda
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, so kann man sofort annehmen, dass $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer
\definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag $\lambda$ trägt als Linearfaktor
\mathl{X- \lambda}{} bei.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Für die Umkehrung seien
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} die verschiedenen Eigenwerte und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_i
}
{ \defeq} { \mu_{\lambda_i}(\varphi)
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda_i } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
seien die
\zusatzklammer {geometrischen und algebraischen} {} {}
Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Nach
Fakt *****
ist die Summe der Eigenräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \oplus \cdots \oplus \operatorname{Eig}_{ \lambda_k } { \left( \varphi \right) }
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich $n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach
Fakt *****
ist $\varphi$ diagonalisierbar.}
{}
Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {} zwei Geraden im $\R^2$ durch den Nullpunkt und es seien
\mathkor {} {\varphi_1} {und} {\varphi_2} {}
die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{,}
und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden
\zusatzklammer {zu den Eigenwerten $1$ und $-1$} {} {.}
Die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ =} { \varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
dieser Spiegelungen ist eine
\definitionsverweis {Drehung}{}{,}
und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel
\mathkor {} {0} {oder} {180} {}
Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von
\mathl{0,90}{} Grad verschieden ist, so besitzt $\psi$ keinen Eigenvektor.
}
\zwischenueberschrift{Trigonalisierbare Abbildungen und jordansche Normalform}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} heißt \definitionswort {trigonalisierbar}{,} wenn sie bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} durch eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} beschrieben wird.
}
Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie [[{{{Beispielseitenname2}}}|Beispiel]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/{{{Beispielseitenname2}}}/Beispielreferenznummer|*****]] zeigt.
{Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$\varphi$ ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
} {Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ \varphi }$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}}
\faktzusatz {Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{BMB^{-1}}{} eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
}
{Wir beweisen nur die Richtung von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von $\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $\chi_{ M }$, wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass $M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach
Lemma 11.8
\inputfaktbeweis
{Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine quadratische Matrix mit
\definitionsverweis {komplexen}{}{}
Einträgen.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 41.4 und dem Fundamentalsatz der Algebra.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten eine reelle $2 \times 2$-Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det { \left( x E_2 - M \right) }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-a & -b \\ -c & x-d \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-a)(x-d)-bc
}
{ =} { x^2 -(a+d)x +ad-bc
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( x- { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2 +ad-bc
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2- { \left( { \frac{ a-d }{ 2 } } \right) }^2 -bc
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dieses Polynom zerfällt in
\zusatzklammer {reelle} {} {}
Linearfaktoren genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ a-d }{ 2 } } \right) }^2 +bc
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix
nach Fakt *****
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Unter einer
\definitionswort {Jordanmatrix}{}
\zusatzklammer {zum Eigenwert $\lambda$} {} {}
versteht man eine quadratische Matrix der Form\zusatzfussnote {Manche Autoren verstehen unter einer Jordanmatrix eine Matrix, in der die Einsen unterhalb der Diagonalen stehen} {.} {}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda & 1\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{pmatrix}} { . }
}
Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung $\varphi$ des Standardraumes $K^n$ in sich interpretiert, so ist
\mathdisp {\varphi(e_1)= \lambda e_1 \text{ und } \varphi(e_k)= \lambda e_k +e_{k-1} \text{ für alle } k \geq 2} { . }
Insbesondere ist $e_1$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$. Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 41.11} {} {.} Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung\zusatzfussnote {Im Kontext der trigonalisierbaren Abbildungen und zum Auffinden der jordanschen Normalform ist es sinnvoll, mit \mathlk{\varphi- \lambda \cdot \operatorname{Id}}{} anstatt mit \mathlk{\lambda \cdot \operatorname{Id} - \varphi}{} zu arbeiten} {.} {}
\mathdisp {e_{k-1} = ( \varphi - \lambda \cdot \operatorname{Id})(e_k)} { }
für
\mathl{k \geq 2}{.} Als Eigenvektor ist $e_1$ ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung
\mathl{\psi \defeq \varphi - \lambda \operatorname{Id}}{,} und die anderen Standardvektoren $e_k$ ergeben sich sukzessive als Urbild von $e_{k-1}$ unter $\psi$. Diese Beobachtung liefert den Hintergrund für das weiter unten beschriebene Verfahren zum Aufstellen einer Jordanmatrix.
\inputdefinition
{}
{
Eine quadratische Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & J_{k-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & J_k \end{pmatrix}} { , }
wobei die $J_i$
\definitionsverweis {Jordanmatrizen}{}{}
sind, heißt Matrix in
\definitionswort {jordanscher Normalform}{.}
}
Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen Jordanblöcke der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4& 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}} { }
gibt es drei Jordanblöcke, nämlich
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}} { }
zu den Eigenwerten $2,4$ und nochmal $2$.
\inputdefinition
{}
{
Zwei quadratische Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M,N
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen
\definitionswort {ähnlich}{,}
wenn es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$B$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ B N B^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalform/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
zu einer Matrix in
\definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Wir verzichten auf den recht aufwändigen Beweis. }
Diese Aussage kann man so interpretieren, dass es für eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi$ eine Basis gibt derart, dass $\varphi$ bezüglich dieser Basis durch eine Matrix in jordanscher Normalform beschrieben wird. Über den komplexen Zahlen kann man dies also stets erreichen.
\inputverfahren{}
{
Wir beschreiben, wie man zu einer linearen
\definitionsverweis {trigonalisierbaren Abbildung}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
findet, bezüglich der die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
in
\definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{}
ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert
\mathl{\lambda \in K}{} den minimalen Exponenten $s$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} { \left( \varphi- \lambda
\operatorname{Id} \right) }^s
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( \varphi- \lambda
\operatorname{Id} \right) }^{s+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und setzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( \varphi- \lambda
\operatorname{Id} \right) }^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{i=1 , \ldots , s}{.} Dies ergibt eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_1
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ } { \left( \lambda \right) }
}
{ \subseteq} {V_2
}
{ \subset \cdots \subset} {V_{s-1}
}
{ \subset} {V_s
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Man wählt nun aus
\mathl{V_{s} \setminus V_{s-1}}{} einen Vektor $u$. Die Vektoren
\mathdisp {u, (\varphi- \lambda
\operatorname{Id})(u), (\varphi- \lambda
\operatorname{Id})^2(u) , \ldots , (\varphi- \lambda
\operatorname{Id})^{s-1}(u)} { }
bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in
\mathl{V_{s} \setminus V_{s-1}}{} einen weiteren, zu $u$ und $V_{s-1}$ linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn
\mathl{V_s \setminus V_{s-1}}{} ausgeschöpft ist, schaut man, ob
\mathl{V_{s-1} \setminus V_{s-2}}{} bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu $\lambda$ ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter.
Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu $\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor $v$ zu $\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter $\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }$ finden, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V } \right) } (v')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lösen, dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V } \right) } (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
u.s.w.
Wenn beispielsweise der Eigenraum $k$-dimensional und der Hauptraum $(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} finden.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wollen sie auf
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
bringen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{e_1
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Eigenvektor zum Eigenwert $2$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ \defeq} { M- 2 E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_1
}
{ = }{ A v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich sofort
\zusatzklammer {aus der zweiten Zeile} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_3
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2v_2
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {$v_1$ können wir frei als $0$ wählen} {} {.}
Also setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } \\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Schließlich brauchen wir eine Lösung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{Aw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\- { \frac{ 1 }{ 12 } }\\ { \frac{ 1 }{ 6 } } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
\mathdisp {Mu=2u,\, M v = 2v +u,\, Mw =2w + v} { , }
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird. Diese Matrix ist eine
\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{}
und insbesondere in
\definitionsverweis {jordanscher Normalform}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ e_1
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ e_2
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert $2$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ \defeq} { M- 2 E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass
\mathkor {} {u} {und} {v} {}
den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix $A$ sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e_2
}
{ =} {Aw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\0\\ { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die durch die Matrix $M$ beschriebene lineare Abbildung gilt somit
\mathdisp {Mu=2u,\, M v = 2v,\, Mw =2w +v} { , }
sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken
\mathkor {} {(2)} {und} {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}} {.}
}
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