Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 41

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Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen



Satz  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle mit der algebraischen Vielfachheit die Gleichheit

gilt.

Beweis  

Wenn diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.

Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Nach Fakt ***** ist die Summe der Eigenräume

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich , so dass Gleichheit vorliegt. Nach Fakt ***** ist diagonalisierbar.


Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.


Beispiel  

Es seien und zwei Geraden im durch den Nullpunkt und es seien und die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets diagonalisierbar, und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden (zu den Eigenwerten und ). Die Hintereinanderschaltung dieser Spiegelungen ist eine Drehung, und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel oder Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von Grad verschieden ist, so besitzt keinen Eigenvektor.




Trigonalisierbare Abbildungen und jordansche Normalform

Definition  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.

Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie [[{{{Beispielseitenname2}}}|Beispiel]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/{{{Beispielseitenname2}}}/Beispielreferenznummer|*****]] zeigt.



Satz

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist trigonalisierbar.
  2. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix derart, dass eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis

Wir beweisen nur die Richtung von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von ist gleich dem charakteristischen Polynom , wobei eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach

Lemma 11.8

das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen. Die Rückrichtung ist deutlich aufwändiger.




Satz  

Es sei eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.

Dann ist trigonalisierbar.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 41.4 und dem Fundamentalsatz der Algebra.



Beispiel  

Wir betrachten eine reelle -Matrix . Das charakteristische Polynom ist

Dieses Polynom zerfällt in (reelle) Linearfaktoren genau dann, wenn ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix nach Fakt ***** trigonalisierbar.



Definition  

Es sei ein Körper und . Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert ) versteht man eine quadratische Matrix der Form[1]

Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung des Standardraumes in sich interpretiert, so ist

Insbesondere ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann (siehe Aufgabe 41.11). Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung[2]

für . Als Eigenvektor ist ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung , und die anderen Standardvektoren ergeben sich sukzessive als Urbild von unter . Diese Beobachtung liefert den Hintergrund für das weiter unten beschriebene Verfahren zum Aufstellen einer Jordanmatrix.


Definition  

Eine quadratische Matrix der Form

wobei die Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.

Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen Jordanblöcke der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix

gibt es drei Jordanblöcke, nämlich

zu den Eigenwerten und nochmal .


Definition  

Zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.



Satz

Beweis

Wir verzichten auf den recht aufwändigen Beweis.

Diese Aussage kann man so interpretieren, dass es für eine trigonalisierbare lineare Abbildung eine Basis gibt derart, dass bezüglich dieser Basis durch eine Matrix in jordanscher Normalform beschrieben wird. Über den komplexen Zahlen kann man dies also stets erreichen.


Verfahren  

Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert den minimalen Exponenten mit

und setzt

für . Dies ergibt eine Kette

Man wählt nun aus einen Vektor . Die Vektoren
bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in einen weiteren, zu und linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn ausgeschöpft ist, schaut man, ob bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter.

Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor zu wählen und dazu sukzessive Urbilder unter finden, also

lösen, dann

u.s.w.

Wenn beispielsweise der Eigenraum -dimensional und der Hauptraum -dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter finden.


Beispiel  

Wir betrachten die Matrix

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Es ist

so dass es keinen weiteren linear unabhängigen Eigenvektor gibt. Wir interessieren uns für das lineare Gleichungssystem . Daraus ergibt sich sofort (aus der zweiten Zeile) und somit ( können wir frei als wählen). Also setzen wir . Schließlich brauchen wir eine Lösung für . Dies führt auf . Für die durch die Matrix beschriebene lineare Abbildung gilt somit

so dass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch

beschrieben wird. Diese Matrix ist eine Jordanmatrix und insbesondere in jordanscher Normalform.



Beispiel  

Wir betrachten die Matrix

und wollen sie auf jordansche Normalform bringen. Es sind und linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert . Es ist

so dass und den Eigenraum aufspannen. Ein Eigenvektor muss das Bild eines Vektors unter der Matrix sein. In der Tat besitzt das lineare Gleichungssystem

die Lösung .

Für die durch die Matrix beschriebene lineare Abbildung gilt somit

sodass die Abbildung bezüglich dieser Basis durch

beschrieben wird. Diese Matrix ist in jordanscher Normalform mit den Jordanblöcken und .




Fußnoten
  1. Manche Autoren verstehen unter einer Jordanmatrix eine Matrix, in der die Einsen unterhalb der Diagonalen stehen.
  2. Im Kontext der trigonalisierbaren Abbildungen und zum Auffinden der jordanschen Normalform ist es sinnvoll, mit anstatt mit zu arbeiten.



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