Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/5

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Zur Anordnung

Studentenfrage

Die Aussage, dass eine positive natürliche Zahl in einem Körper 0 sein kann, ist nicht ganz klar. Könnten Sie ein klares und verständliches Beispiel für eine solche Situation geben?

Die Frage bezieht sich auf folgenden Abschnitt

„Wir besprechen nun eine weitere Anordungseigenschaft der reellen Zahlen, das sogenannte Archimedes-Axiom. Um dieses formulieren zu können, müssen wir uns zunächst klar machen, dass in jedem Körper ${}K$ jede natürliche Zahl ${}n$ eine sinnvolle und eindeutige Interpretation hat. Dies ist nicht selbstverständlich, da ja in der Axiomatik eines Körpers zwar eine ${}0$ und eine ${}1$ vorkommt, aber keine ${}2,3,...$. Wir legen daher einfach über die Addition im Körper die Bedeutung dieser Zahlen fest, also

${}2=1+1\,,$

${}3=2+1=1+1+1$, u.s.w. Dabei kann passieren, dass eine positive natürliche Zahl in einem Körper gleich ${}0$ ist, im Körper mit zwei Elementen ist beispielsweise ${}0=2=4=6=\ldots$ und ${}1=3=5=7=\ldots$.“

Antwort

Die Erklärung im Skript bezieht sich auf den Körper mit zwei Elementen, zu dem wir in Beispiel 4.4 gezeigt haben, dass er ein Körper ist. In der Antwort zu dieser Studentenfrage zu Vorlesung 4 habe ich erklärt, warum in diesem Körper 1+1=0 ist. Da wir 2 als 1+1 festlegen muss also in dem Körper mit zwei Elementen 2=0 sein.

Ich kann verstehen, dass das Schwierigkeiten bereitet. Denn, dass 2=0 sein soll, widerspricht Allem, was wir in der Schule gelernt haben. Deshalb ist wichtig klar zu machen auf welchem Körper wir arbeiten. Auf den reellen Zahlen verhält sich alles so wie wir es aus der Schule kennen. Aber wir haben hier einen anderen Körper kennengelernt, auf dem wir auch rechnen können, der sich aber ganz anders verhält. Das zeigt auch warum die Körperaxiome allein nicht genügen und wir noch die Anordnungsaxiome, das Archimedes-Axiom und später das Vollständigkeitsaxiom brauchen um die reellen Zahlen eindeutig zu beschreiben.

Das heißt aber nicht, dass der Körper mit zwei Elementen nichts mit der Realität zu tun hat. Tatsächlich ist das Phänomen, dass positive Zahlen gleich 0 sind zum Beispiel auch aus der Informatik ein bekanntes Problem. Die Register in einem Computer haben aus technischen Gründen eine begrenzte Länge, weshalb in der internen Arithmetik wenn wir zu 0 immer wieder 1 addieren irgendwann wieder bei 0 ankommen. Das Phänomen wird als Integer Overflow bezeichnet. In typischen Registern mit 64 bit Länge ist ${}2^{64}=18446744073709551616=0$. Der Körper mit zwei Elementen repräsentiert nur 1 bit, deshalb ist eben schon ${}2^{1}=2=0$.

Studentenfrage

Können auch andere Zahlbereiche, als die reellen Zahlen das archimedische Axiom erfüllen?

Antwort

Ja. Tatsächlich gilt das Archimedes-Axiom für alle Teilmengen eines angeordneten Körpers für die es erfüllt ist, wobei wir ${}nx\geq y$ eventuell im Körper interpretieren müssen. Das liegt daran, dass das Archimedesaxiom nur auf Elemente Bezug nimmt und die Ordnung auf allen Teilmengen mit der des Körpers übereinstimmt (nur dass Elemente fehlen).

Das heißt, dass das Archimedes-Axiom auch in ${}\mathbb {N}$, ${}\mathbb {Z}$, und ${}\mathbb {Q}$ gilt. Das lässt sich auch leicht direkt überprüfen, was eine sinnvolle Aufgabe ist. Ich empfehle über solche leicht überprüfbaren möglichen Verallgemeinerungen beim Lesen eines mathematischen Textes so oft wie möglich nachzudenken, da dadurch das Verständnis der Konzepte klarer wird.

Studentenfrage

Ich kenne aus dem Matheunterricht noch den Begriff monoton wachsend in Bezug auf Intervalle. Ist dies gleichzusetzten mit dem wachsenden Intervall aus dem Script?

Antwort

Zur Formulierung: Ein Intervall kann nicht wachsend sein, das ergibt keinen Sinn. Was du meinst, ist eine Funktion die auf einem Intervall wachsend ist.

Zu deiner Frage: Du hast den Bezug absolut richtig hergestellt, wir verwenden die Begriffe wachsend und monoton wachsend synonym. Monoton ist der Überbegriff für (monoton) wachsend und (monoton) fallend.

Zur Gaußklammer

Studentenfrage

Ist die Definition der Gaußklammer quasi als Definition eines Abrundungsoperators zu verstehen, da ${}n$ und ${}n+1$ ein rechtsseitig offenes Interval bilden?

Antwort

Ja, das Anwenden der Gauß-Klammer entspricht dem Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl.

Studentenfrage

Gibt es eine Definition für die Inverse der Gaußklammer?

Antwort

Wenn man deine Frage wörtlich nimmt, müsste man annehmen, dass du eine Abbildung ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto {\frac {1}{\left\lfloor x\right\rfloor }}$ meinst, da das die Funktion ist, die auf das reelle Inverse der Gaußklammer abbildet. Diese Funktion kann man natürlich definieren, aber ich kenne keinen speziellen Namen dafür. Ich glaube allerdings nicht, dass du das meinst. Deshalb bitte Vorsicht, mathematische Begriffe wie "das Inverse" sollten immer präzise verwendet werden.

Vielleicht meinst du die Funktion die ${}x$ auf ${}\lceil x\rceil$ abbildet, wobei

$\lceil x\rceil =n,{\text{ falls }}x\in ]n-1,n]{\text{ und }}n\in \mathbb {Z}$

ist. Dies nennt sich die obere Gaußklammer und entspricht dem Aufrunden auf die nächsthöhere ganze Zahl.

Wenn man den Unterschied deutlich machen will, kann man die normale Gaußklammer auch untere Gaußklammer nennen.

Zu Komplexen Zahlen

Studentenfrage

Macht es mathematisch einen Unterschied ob man in komplexen Zahlen rechnet oder im ${}\mathbb {R} ^{2}$, außer dass ${}i^{2}=-1$ ist?

Antwort

Wie in der Vorlesung geschrieben, ergeben sich aus ${}i^{2}=-1$ sämtliche algebraischen Eigenschaften der komplexen Zahlen durch die Körpergesetze. Die Menge ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der Multiplikationsregel sind die komplexen Zahlen und die Multiplikationsregel ergibt sich aus ${}i^{2}=-1$ durch distributive Auflösung (sprich Ausklammern). Das Rechnen auf den komplexen Zahlen ist also identisch mit dem Rechnen auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der Multiplikationsregel die sich aus ${}i^{2}=-1$ ergibt.

Studentenfrage

Is it correct that ${}-(x,y):=(-x,-y)$? Are they the inverse of ${}(x,y)$? How to proof ${}(-x,-y)$ is the inverse of ${}(x,y)$ using ${}a\cdot b=1$? (My proof got stuck.)

Antwort

Because we add componentwise in ${}\mathbb {R} ^{2}$ the negative of ${}(x,y)$ is indeed the componentwise negative ${}(-x,-y)$, i.e. the pair for which ${}{1}$.

But the inverse is the multiplicative inverse and not the negative. As you correctly say the inverse of ${}a$ has to fulfill ${}a\cdot b=1$. So to find the inverse of ${}(x,y)$ you have to find a pair ${}(w,z)\in \mathbb {R} ^{2}$ such that ${}(x,y)\cdot (w,z)=1=(1,0)$. Plug this into the multiplication rule for complex numbers and solve the resulting system of equations for the variables ${}w$ and ${}z$ and you find the inverse of ${}(x,y)$.

Alternatively, try to prove the formula in Satz 5.19  (5).

Studentenfrage

Wenn ${}z=a+bi$ ist, bedeutet das, dass ${}z=1$ als ${}z=1+0i$ zu verstehen ist?

Antwort

Ja, genau so ist das zu lesen. Wir hatten ja definiert, dass ${}1=(1,0)$ und ${}a+bi=(a,b)$ ist. Wenn ${}a=0$ oder ${}b=0$ ist, dann kann man den zugehörigen Summanden in dieser Schreibweise auch weglassen.

Studentenfrage

Könnte die Aussage (2) unter Lemma 5.20 auch "Für alle ${}a\geq 0$ ist ${}{|}z{|}=a$ genau dann, wenn ${}z=a$ ist" lauten?

Antwort

Man muss hier aufpassen, die zugehörige Vips-Aussage ("Der Betrag ${}{|}z{|}$ einer komplexen Zahl ${}z$ ist ${}1$ genau dann wenn ${}z=1$ ist.") ist zum Beispiel nicht wahr.

Deine Formulierung macht allerdings nur Sinn, wenn wir als Voraussetzung fordern, dass ${}a$ eine relle Zahl ist, da wir nur dann eine Ordnung haben und davon sprechen können, dass ${}a\geq 0$ sein soll. Die Aussage "Für alle rellen Zahlen ${}a$ mit ${}a\geq 0$ ist ${}{|}z{|}=a$ genau dann, wenn ${}z=a$ ist." ist also wahr. Das ist wahr im Unterschied zu der Vips-Aussage, weil nach Lemma 5.20  (1) für reelle Zahlen der reelle Betrag mit dem komplexen Betrag übereinstimmt und dann also für nichtnegative reelle Zahlen der Betrag mit der Zahl selbst übereinstimmt, also ${}{|}a{|}=a$.

Die Stärke und Prägnanz der Aussage Lemma 5.20  (2) geht dabei aber großteils verloren. Denn Lemma 5.20  (2) hats als Konsequenz, dass um zu überprüfen ob eine komplexe Zahl 0 ist, es genügt zu prüfen ob ihr Betrag 0 ist.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 5

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