Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/4

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

I wonder if it's possible for you to suggest an english book or even german with a simpler language which helps me to grasp the content faster. The lessons on Wikiversity are great but sometimes very wordy and difficult to understand.

Antwort

I understand that it is hard without a firm understanding of german. I don't think there exists a single book that fits what you look for, but I urge you to look on the internet for other explanations for terms and concepts that are difficult to understand. Sometimes there is a video or some other lecture notes or a Wikipedia article that helps you understand. There are a lot of different books and lecture notes, none will follow exactly the topics and notation that we use here. For example, this and this seem decent, but they don't cover all the topics we cover here and on other topics they go much further. So in the end it might be easier again to work through the lecture notes here on Wikiversity and look up all the terms that you don't know. You should try out different approaches until you find one that works for you.

Studentenfrage

In Bezug auf die Axiome, tue ich mich schwer mit den Eigenschaften, insbesonders verstehe ich gerade nicht wie so eine starke Folgerung aussehen würde?

Antwort

Deine Frage bezieht sich sicherlich auf folgenden Absatz:

„Im axiomatischen Zugang werden die Gesetzmäßigkeiten in den Mittelpunkt gestellt. Mathematische Objekte, die diese Gesetzmäßigkeiten erfüllen, sind dann Beispiele oder Modelle für diese Gesetzmäßigkeiten. Als Eigenschaften wählt man dabei vor allem solche Eigenschaften, die einerseits einfach zu formulieren sind und andererseits starke Folgerungen erlauben.“

Im Beispiel der Körperaxiome sind die starken Folgerungen überall im Kurs und überall in der gesamten Mathematik zu finden. Alles was wir über Körper wissen folgt aus den Axiomen. Allein schon die Eigenschaften die wir in Lemma 4.5 zeigen sind starke Folgerungen direkt aus den Axiomen. Und das sind erst die ersten Schritte des Folgerungsgebildes, das wir auf die Axiome aufbauen. Die meisten der Beweise in der Vorlesung könnten wir ohne die Rechenregeln die sich aus den Körperaxiomen ergeben nicht durchführen.

Dass das nicht sofort auffällt wie viele Eigenschaften sich alle auf die Körperaxiome beziehen ist vielleicht gerade ein Testament für die Stärke eines axiomatischen Aufbaus. Die Axiome sind so einfach und unauffällig, dass sie gefühlt in den Hintergrund treten.

Studentenfrage

In der Vorlesung steht, dass sich Subtraktion und Division als abgeleitete Verknüpfungen aus Addition und Multiplikation ergeben. Folgt daraus, dass die für Addition und Multiplikation (in einem Körper) geltenden Axiome auch für Subtraktion und Division gelten?

Antwort

Nein, die gleichen Axiome gelten nicht für Subtraktion und Division. Zwar sind die neutralen Elemente dieselben, aber Kommutativgesetz und Assoziativgesetz gelten jeweils nicht - probier selbst mal ein paar Zahlenbeispiele für Operationen mit Minus und Mal aus und überprüfe ob du die Klammern oder die Reihenfolge der Zahlen vertauschen darfst.

Das ist auch der Grund warum wir Addition und Multiplikation für den axiomatischen Aufbau verwenden - damit sind die Körpereigenschaften einfacher zu beschreiben. Subtraktion und Division lassen sich trotzdem darauf definieren und Eigenschaften dafür herleiten (aber eben nicht genau die selben), also sind sie axiomatisch auch unnötig.

Studentenfrage

Kann man das Negative auch als Inverses der Addition bezeichnen?

Antwort

Bezüglich einer Operation ${}\circ$ ist das inverse Element ${}b$ zu einem Element ${}a$ immer das Element für das ${}a\circ b=e$ ist, wobei ${}e$ das neutrale Element zu der Operation ist. Also ist das inverse Element bezüglich der Addition das Negative. In Beispiel 4.4 wird das auch so geschrieben.

Mit dem Inversen zu einem Element in einem Körper ist aber immer das inverse Element bezüglich der Multiplikation gemeint. Wenn man das inverse Element bezüglich der Addition meint muss man das explizit klar machen. Persönlich würde ich daher empfehlen für die Addition immer 'das Negative' zu schreiben und den Begriff 'Inverses' für die Multiplikation aufzusparen, damit keine Verwirrung aufkommt.

Studentenfrage

Wie liest man die Operationstafeln in Beispiel 4.4?

Antwort

Wir betrachten folgende Operationstafel.

${}+$	${}0$	${}1$
${}0$	${}0$	${}1$
${}1$	${}1$	${}0$

Sie gibt an, wie die Addition auf der Menge ${}\{0,1\}$ definiert ist. In der ersten Spalte steht der erste Summand. In der ersten Zeile steht der zweite Summand. Die Summe dieser beiden Zahlen steht dann an der Stelle in der Tafel mit gleicher Zeile wie der erste Summand und gleicher Spalte wie der zweite Summand. Zum Beispiel steht die 0 in der ersten Spalte in der zweiten Zeile. Die 1 steht in der ersten Zeile in der dritten Spalte. An der Stelle ${}(2,3)$ steht eine 1, also ist ${}0+1=1$.

Die Tafel gibt also an: ${}0+0=0$, ${}1+0=1$, ${}0+1=1$ und ${}1+1=0$.

Studentenfrage

Wieso gilt in Beispiel 4.4 die Gleichung ${}1+1=0$? Wieso ist 1 das inverse Element von 1 bezüglich der Addition?

Antwort

Aufgrund der Körperaxiome muss jedes Element ein Negatives haben. Wir suchen ein Negatives für die ${}1$. Dafür stehen nur zwei Möglichkeiten zur Auswahl: ${}0$ oder ${}1$.

Wir haben ${}0$ als das neutrale Element der Addition festgelegt. Also ist ${}1+0=1$ und damit kann ${}0$ nicht das Negative von ${}1$ sein.

Deshalb muss ${}1$ das Negative von ${}1$ sein, also gilt ${}1+1=0$.

Studentenfrage

Beispiel 4.4:

Wenn 0 das neutrale Element einer Addition und 1 das neutrale Element einer Multiplikation ist, warum gilt dann

1. ${}1+1=0$
2. ${}0\cdot 0=0$

Ich habe das Beispiel bzw. Lemma (vor allem in 4.3) noch nicht vollständig verstanden. Könnte es nochmal in anderen Worten erklärt werden?

Antwort

Die Aussage ${}1+1=0$ gilt nur in diesem speziellen Beispiel. Die Herleitung der Aussage wurde in der Antwort zu einer anderen Frage ausgeführt.

Die Aussage ${}0\cdot 0=0$ wurde sogar noch Allgemeiner in Lemma 4.5  (1) bewiesen.

Bezüglich deiner letzten Frage wäre es sinnvoll in der Frage zu präzisieren was nicht verstanden wurde, damit ich darauf genauer eingehen kann. So ist die Frage eigentlich zu allgemein gehalten.

Betrachten wir trotzdem erneut untenstehenden Beweis. Wir wollen Eindeutigkeit des Negativen zeigen. Dazu nehmen wir zwei Elemente an, die inverse Elemente bezüglich der Addition seien. Die Schritte der Gleichungskette sind entweder Körperaxiome oder die Annahmen über die Elemente ${}y$ und ${}y'$. Dadurch zeigen wir, dass ${}y$ und ${}y'$ gleich sind. Weil wir am Anfang nur angenommen haben, dass sie inverse Elemente bezüglich der Addition sind, haben wir damit gezeigt, dass es nur ein solches inverses Element bezüglich der Addition geben kann.

Lemma

In einem Körper ${}K$ ist zu einem Element ${}x\in K$ das Element ${}y$ mit ${}x+y=0$ eindeutig bestimmt. Bei ${}x\neq 0$ ist auch das Element ${}z$ mit ${}xz=1$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei ${}x$ vorgegeben und seien ${}y$ und ${}y'$ Elemente mit ${}x+y=0=x+y'$. Dann gilt

${}y=y+0=y+(x+y')=(y+x)+y'=(x+y)+y'=0+y'=y'\,.$

Insgesamt ist also ${}y=y'$. Für den zweiten Teil siehe Aufgabe 4.3.

$\Box$

Studentenfrage

Kann ich Addition mit dem Negativen als eine Umkehrabbildung der Addition bezeichnen? Oder haben diese zwei Sachen nichts miteinander zu tun?

Antwort

Die Addition ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y)\longmapsto x+y$ besitzt keine Umkehrabbildung, da sie nicht bijektiv ist. Es gibt ja mehrere Arten eine Zahl als Summe zweier Zahlen darzustellen.

Wenn wir aber einen Summanden fixieren ergibt sich eine neue Abbildung ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto x+a$. Diese Abbildung ist bijektiv und hat die Umkehrabbildung ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto x+(-a)$. Deine Überlegung war also nicht ganz falsch, es ist aber sehr wichtig genau anzugeben zu welcher Abbildung wir eine Umkehrabbildung angeben, unter Einbezug von Definitions- und Wertebereich.

Studentenfrage

Mir ist die Denkweise bei Beweisen zu Körperaxiomen nicht ganz klar. Beispielsweise beim Beweis zu Lemma 4.5  (2) (oder Aufgabe 4.4 auf dem Übungsblatt):

Kann ich ${}(-1)$ für das ${}-$ als Element des Körpers annehmen ohne es wirklich zu wissen? Also dann für ${}(-a)b=(-1)ab=-ab=a(-1)b=a(-b)$ durch Anwendung der Axiome der Multiplikation zeigen. Oder muss ich dabei anders vorgehen?

Antwort

Der Ausdruck ${}-a$ (oder mit Klammern ${}(-a)$) steht hier für das Negative des Elements ${}a$. Nur damit soll argumentiert werden.

Bei der Vorzeichenregel, soll man zeigen, dass das Negative von ${}a$ multipliziert mit ${}b$ gleich dem Negativen des Produkts von ${}a$ und ${}b$ ist und ebenso mit vertauschten Rollen von ${}a$ und ${}b$. Es ist also nachzuweisen, dass das Negative von ${}a$ multipliziert mit ${}b$ die Eigenschaft hat, dass wenn wir es mit ${}a\cdot b$ addieren sich das neutrale Element der Addition ergibt. Mit anderen Worten, wir müssen ${}(-a)\cdot b+a\cdot b=0$ zeigen. Dazu wenden wir das Distributivgesetz an, da in beiden Summanden der Faktor ${}b$ vorkommt. Dann ergibt sich ${}(-a)\cdot b+a\cdot b=(-a+a)\cdot b=0\cdot b=0$.

Dass ${}(-1)\cdot a=-(1\cdot a)=-a$ ist folgt dann, kann aber nicht davor vorausgesetzt werden.

Studentenfrage

Ich verstehe nicht, warum man beim Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen einfach eine 1 addieren kann! Wie kommt man darauf und könnte ich eine beliebige Zahlt addieren oder kann es nur die 1 sein?

Antwort

Wir dürfen natürlich jede Zahl addieren, das ist ja einfach eine Operation auf den natürlichen Zahlen. Aber nur wenn wir eine 1 addieren, bleibt immer ein Rest übrig, wenn wir durch eine Primzahl teilen. Das liegt daran, dass 1 keine Primzahl ist, und der Summand ${}p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{r}$ durch jede Primzahl teilbar ist. Wenn wir durch eine Primzahl teilen, wenden wir das Distributivgesetz auf die Summe an und teilen beide Summanden getrennt. Die Reste können wir dann addieren. Hier nochmal der Beweis.

Beweis

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$. Man betrachtet die Zahl

${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}\ +1\,.$

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen ${}p_{i}$ teilbar, da bei Division von ${}N$ durch ${}p_{i}$ immer ein Rest ${}1$ verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von ${}N$, die es nach Satz 2.5 geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.

$\Box$

Studentenfrage

In Definition 4.8 wird erwähnt, dass ${}0!=1$ ist. Wieso ist ${}0!=1$ und nicht ${}0$? Ist das nur durch die Definition gegeben oder steckt da eine Mathematische Herleitung dahinter?

Antwort

Zum Einen passt diese Festlegung zur Axiomatik: Die Fakultät ${}n!$ ist das Produkt aller Zahlen ${}x\in \mathbb {N}$ mit ${}x\geq 1$ und ${}x\leq n$. Für ${}n=0$ gibt es keine Zahlen die das erfüllen. Also haben wir das leere Produkt und weil die Zahl ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation ist, ist das leere Produkt ${}1$. Dies ist vergleichbar dazu, dass die leere Summe ${}0$ ist.

Zum Anderen funktionieren mit dieser Festlegung auch die meisten Formeln besser. Zum Beispiel ergibt damit die Definition des Binomialkoeffizienten auch dann Sinn wenn wir ${}0$ einsetzen.

Studentenfrage

Bei dem Beweis von Lemma 4.11 gibt es einen Rechenschritt den ich nicht nachvollziehen kann. Von Zeile vier zu Zeile fünf werden die beiden Summen, die vorher bis n gingen auf n+1 erhöht. Für das linke Summenzeichen kann ich das nachvollziehen, beim rechten aber nicht, da sich bei hinter dem Summenzeichen nichts verändert. Kann dieser Rechenschritt nochmal etwas genauer erläutert werden?

Antwort

Es geht um folgende Gleichung:

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}.$

Bei der ersten Summe substituieren wir ${}k$ mit ${}k-1$. Dadurch verschieben sich Startwert und Endwert der Summe um ${}1$.

Bei der rechten Summe fügen wir einen zusätzlichen Summanden für ${}k=n+1$ ein. Dadurch erhöht sich der Endwert um 1. Wir dürfen diesen Summanden einfügen, weil er 0 ist und damit die Summe nicht ändert. Der Summand ist 0, weil ${}{\binom {n}{n+1}}=0$ ist.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 4

Aufgabe

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ und ${}v\in \mathbb {Q}$.

1. Zeige, dass ${}u$ genau dann irrational ist, wenn ${}u+v$ irrational ist.
2. Es sei zusätzlich ${}v\neq 0$. Zeige, dass ${}u$ genau dann irrational ist, wenn ${}u\cdot v$ irrational ist.

Kommentar:

In beiden Teilaufgaben muss eine Genau-dann-Wenn-Aussage gezeigt werden. Also muss jeweils die Implikation in beide Richtungen gezeigt werden.

Für die erste Teilaufgabe bedeutet das, wir müssen zeigen: Wenn ${}u$ irrational ist, ist ${}u+v$ irrational, und wenn ${}u+v$ irrational ist, ist ${}u$ irrational.

Ein häufiger Fehler bei den Abgaben war, dass nur eine Richtung gezeigt wurde.

 

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