Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Zeige durch Induktion nach ${}n$ unter Verwendung der partiellen Integration

${}\int _{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}dx={\frac {m!n!}{(m+n+1)!}}\,.$

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{n}\cdot \ln x.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{\sqrt {x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {x^{3}}{\sqrt[{5}]{x^{4}+2}}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$(\ln(1+\sin x))\cdot \sin x.$

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und es seien ${}b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(bt+c)\cdot f(t)$

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{1/n},$

unter Verwendung der Stammfunktion von ${}x^{n}$ und Satz 20.4.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral

$\int _{c}^{d}f^{-1}(y)dy$

die Substitution ${}y=f(x)$ durchführt und anschließend partiell integriert.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{\sqrt {\pi }}x\sin x^{2}\,dx.$

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2x+3}}-e^{-x},$

über ${}[1,4]$.

Aufgabe *

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$

Aufgabe *

Begründe den Zusammenhang

${}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{3}\cdot \cos x-x^{2}\cdot \sin x.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\arcsin x.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\sin(\ln x).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{x}\cdot {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}}}.$

Tipp: Man schreibe das Zählerpolynom unter Verwendung des Nennerpolynoms.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}G$. Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

${\left(at^{2}+bt+c\right)}\cdot f(t)$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)>0$ für alle ${}x>0$. Für welche Punkte ${}t\in [0,1]$ besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?