Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 23

Auswertung von Kohomologieklassen längs eines Weges

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit, wir betrachten die Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$, wobei $𝕂$ für $ℝ$ oder für $ℂ$ steht. Das Symbol $𝕂$ verwenden wir auch für die zugehörige Garbe. Eine erste Kohomologieklasse  $c\in H^1(X,𝕂)$  wird repräsentiert durch einen Čech-Kozykel, also durch eine offene Überdeckung

$X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$

und lokal konstante Funktionen $f_{ij}$ auf $U_i\cap U_j$ mit der Eigenschaft, dass

$f_{ij}-f_{ik}+f_{jk}=0$

auf $U_i\cap U_j\cap U_k$ gilt. Die lokale Konstanz bedeutet insbesondere, dass $f_{ij}$ auf den Zusammenhangskomponenten von $U_i\cap U_j$ konstant ist. Auch wenn die $U_i$, die man oft als homöomorph zu Bällen ansetzt, zusammenhängend sind, gilt dies in der Regel nicht für die Durchschnitte. Die Trivialität einer Kohomologieklasse $c$ bedeutet, dass es lokal konstante Funktionen $g_i$ auf $U_i$ gibt mit  $f_{ij}=-g_i+g_j$.  Wir wollen diese Trivialität mit der Hilfe von geschlossenen Wegen charakterisieren.

Definition

Zu einer offenen Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eines topologischen Raumes nennt man eine geordnete endliche Auswahl $V_1,\dots ,V_n$ mit  $V_k=U_{\alpha (k)}$  (mit einer Abbildung $\alpha :\{1,\dots ,n\}\to I$) und  $V_k\cap V_{k+1}\ne \mathrm{\varnothing }$  eine topologische Kette der Überdeckung.

Lemma

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei  $z\in {\check{Z}}^1(X,𝕂)$  ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  mit $U_i$ zusammenhängend repräsentiert sei.

Dann gilt für die zugehörige Kohomologieklasse  $[z]=0$  genau dann, wenn für jede topologische Kette $V_1,\dots ,V_n$ zur Überdeckung und jede Auswahl von Punkten  $P_k\in V_k\cap V_{k+1}$  die Summe $\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_k)$ nur von $V_1$ und $V_n$ abhängt.

Beweis

Es sei zuerst  $[z]=0$.  Dann gibt es lokal konstante Funktionen $g_i$ auf $U_i$ mit  $f_{ij}=g_j-g_i$.  Dann ist

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_k)& =\sum _{k=1}^{n-1}(-g_{\alpha (k)}(P_k)+g_{\alpha (k+1)}(P_k))\\ & =-g_{\alpha (1)}(P_1)+\sum _{k=1}^{n-2}(g_{\alpha (k+1)}(P_k)-g_{\alpha (k+1)}(P_{k+1}))+g_{\alpha (n)}(P_{n-1})\\ & =-g_{\alpha (1)}(P_1)+g_{\alpha (n)}(P_{n-1}),\end{array}$

da $g_{\alpha (k+1)}$ auf  $V_{k+1}=U_{\alpha (k+1)}$  konstant ist.

Es sei nun umgekehrt die Unabhängigkeitseigenschaft erfüllt. Wir können annehmen, dass $X$ zusammenhängend ist. Zunächst sind die Funktionen $f_{ij}$ auf $U_i\cap U_j$ konstant, da andernfalls sich für die Kette $U_i,U_j$ sofort ein Widerspruch zur Unabhängigkeit der Punktwahl ergeben würde. Wir definieren konstante Funktionen $g_i$ auf den $U_i$ in folgender Weise. Wir fixieren eine offene Menge $U_{i_0}$ als $V_1$ und legen darauf den Wert $0$ fest. Zu einer offenen Menge $U_i$ gibt es einen stetigen Weg von $V_1$ nach $U_i$ und damit auch eine topologische Kette $V_1,\dots ,V_n=U_i$. Wir wählen Punkte  $P_k\in V_k\cap V_{k+1}$  und setzen

$g_i=-\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_k)=\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k)\alpha (k+1)}(P_k).$

Nach Voraussetzung ist dies unabhängig von der gewählten Kette und den gewählten Punkten. Wir behaupten, dass der Korand zu den $g_i$ den gegebenen Kozykel realisiert. Es haben $U_i$ und $U_j$ einen nichtleeren Durchschnitt, andernfalls ist nichts zu zeigen. Dann können wir eine topologische Kette von $V_1$ nach  $V_n=U_i$  um  $V_{n+1}=U_j$  zu einer Kette von $V_1$ nach $U_j$ erweitern. Dabei gilt

$\begin{array}{cc}{g}_j-g_i& =-\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_k)-f_{\alpha (n+1)\alpha (n)}(P_n)+\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_k)\\ & =-f_{\alpha (n+1)\alpha (n)}(P_n)\\ & =f_{\alpha (n)\alpha (n+1)}(P_n)\\ & =f_{ij}(P_n).\end{array}$

$◻$

Definition

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei  $z\in {\check{Z}}^1(X,𝕂)$  ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  mit $U_i$ zusammenhängend repräsentiert sei. Zu einem stetigen Weg

$\gamma :[0,1]⟶X$

definiert man die Auswertung des Kozykels längs des Weges in folgender Weise. Man wählt eine topologische Kette $V_1,\dots ,V_n$ aus der Überdeckung mit  $\gamma (0)\in V_1$  und  $\gamma (1)\in V_n$  und Punkte  $P_k\in V_k\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$  und setzt

${\int }_{\gamma }z:=\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1),\alpha (k)}(P_k).$

Beispiel

Wir betrachten auf dem Kreis die Überdeckung mit zwei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten  $S^1=U_1\cup U_2$,  deren Durchschnitt  $U_1\cap U_2=S\cup T$  die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen ist. Die Kohomologieklasse  $c\in H^1(X,𝕂)$  sei auf dem Durchschnitt durch

$f_{12}=\{\begin{array}{c}a\text{ auf }S,\\ b\text{ auf }T,\end{array}$

gegeben. Für den Weg $\gamma$, der den Kreis einfach durchläuft, ist  $V_1=U_1$,   $V_2=U_2$,   $V_3=U_1$  eine topologische Kette für den Weg. Beim Übergang von $V_1$ nach $V_2$ werde $S$ und beim Übergang von $V_2$ nach $V_3$ werde $T$ durchlaufen. Die Auswertung ist dann $-a+b$, das Minuszeichen vorne beruht darauf, dass man $f_{21}$ nimmt, unten hinten muss man beim Übergang von  $V_2=U_2$  nach  $V_3=U_1$  die Funktion  $f_{32}=f_{12}$  nehmen.

Die Wohldefiniertheit der Auswertung ergibt sich aus der folgenden Aussage.

Lemma

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei  $z\in {\check{Z}}^1(X,𝕂)$  ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  mit $U_i$ zusammenhängend repräsentiert sei. Es sei

$\gamma :[0,1]⟶X$

ein stetiger Weg. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Auswertung ${\int }_{\gamma }z$ ist wohldefiniert.
2. Die Auswertung ist linear im Kozykel.
3. Die Auswertung ist additiv bezüglich der Verknüpfung von Wegen.
4. Wenn man den Weg in umgekehrter Richtung durchläuft, so negiert sich die Auswertung.
5. Für einen geschlossenen Weg und einen Kozykel, der die triviale Kohomologieklasse repräsentiert, ist  ${\int }_{\gamma }z=0$. 
6. Die Auswertung hängt nur von der Homotopieklasse des Weges ab.

Beweis

1. Es sei $V_1,\dots ,V_n$ eine gewählte topologische Kette um den Weg. Die Auswertung ist zunächst einmal unabhängig von der Wahl der Punkte  $P_k\in V_k\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$,  da der Ausschnitt des Weges zusammenhängend ist. Es sei $U_s$ eine zusätzliche offene Umgebung $U_s$ (aus der Überdeckung), die $\gamma ([0,1])$ trifft, und mit der wir die Kette erweitern wollen. Es sei  $U_s\cap V_k\cap \gamma ([0,1])\ne \mathrm{\varnothing }$.  Bei  $U_s\cap V_k\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])=\mathrm{\varnothing }$  können wir die Kette zu $\dots V_k,U_s,V_k,V_{k+1},\dots$ abändern. Für die beiden Übergänge können wir den gleichen Punkt wählen und erhalten den gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen (da sich die Reihenfolge des Überganges ändert), was sich weghebt. Es sei nun  $U_s\cap V_k\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])\ne \mathrm{\varnothing }$.  Wir betrachten die abgeänderte Kette $V_1,\dots ,V_k=U_r,U_s,V_{k+1}=U_t,\dots ,V_n$ Wir können davon ausgehen, dass $P_k$ zu den drei Mengen gehört. Die Gesamtänderung der Auswertung bei dieser Abänderung ist dann

   $-f_{r,t}(P_k)+f_{r,s}(P_k)+f_{s,t}(P_k)=0.$

   In dieser Weise können wir sukzessive von jeder Kette zu jeder Kette übergehen. Wenn man die Klasse durch eine andere Überdeckung repräsentiert, so kann man annehmen, dass es sich um eine Verfeinerung (im Sinne von es kommen offene Mengen hinzu) handelt und dann wie soeben schließen.

2. Ist klar.
3. Ist klar.
4. Ist klar.
5. Folgt aus Lemma 23.2.
6. Es seien $\gamma$ und ${\gamma }^{\prime }$ homotope Wege mit dem gleichen Start- und Zielpunkt und sei

   $H:[0,1]\times [0,1]⟶X$

   eine Homotopie zwischen den Wegen. D.h. $H$ ist stetig und eingeschränkt auf den linken Rand des Quadrates gleich $\gamma$ und eingeschränkt auf den rechten Rand gleich ${\gamma }^{\prime }$. Wegen der Kompaktheit von $[0,1]\times [0,1]$ besitzt die offene Überdeckung $H^{-1}(U_i)$, $i\in I$, eine endliche Teilüberdeckung. Daher gibt es auch eine Gittereinteilung des Quadrates in $m\cdot m$ Teilquadrate der Seitenlänge $\frac{1}{m}$ derart, dass sie ganz in einem der $H^{-1}(U_i)$ liegen. Es ist also stets

   $H([\frac{r}{m},\frac{r+1}{m}]\times [\frac{s}{m},\frac{s+1}{m}])\subseteq U_i.$

   Wir verkleinern nochmal die Teilquadrate, um sicherzustellen, dass benachbarte Quadrat in einer der offenen Mengen landen. Um die Gleichheit zwischen ${\int }_{\gamma }z$ und ${\int }_{{\gamma }^{\prime }}z$ zu zeigen, können wir sukzessive Wege auf einem einzigen kleinen Quadrat abändern. Wir betrachten Wege der Form

   ${\delta }_{r,s}(t)=\{\begin{array}{c}H(\frac{r}{m},t)\text{ für }t<\frac{s}{m},\\ H(\frac{r}{m}+t-\frac{s}{m},t)\text{ für }\frac{s}{m}\le t\le \frac{s+1}{m},\\ H(\frac{r+1}{m},t)\text{ für }t>\frac{s+1}{m},\end{array}$

   und den Übergang von ${\delta }_{r,s}$ nach ${\delta }_{r,s+1}$. Es sei $U_i$ die offene Umgebung, in der das Rechteck $[\frac{r}{m},\frac{r+1}{m}]\times [\frac{s}{m},\frac{s+2}{m}]$ landet, in dem sich die Abänderung des Weges abspielt. Diese offene Umgebung können wir als Teil einer topologischen Kette $V_1,\dots ,V_n$ nehmen mit  $V_k=U_i$,  die beide Wege umfasst. Da $V_k\cap V_{k+1}\cap {\delta }_{r,s}([0,1])$ und $V_k\cap V_{k+1}\cap {\delta }_{r,s+1}([0,1])$ Punkte gemeinsam haben und da eine einfache Wegverzweigung zusammenhängend ist, stimmen beide Auswertungen überein. Durch eine endlich Anzahl solcher kleinen Abwandlungen können wir $\gamma$ in ${\gamma }^{\prime }$ überführen.

$◻$

Lemma

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit, sei  $c\in H^1(X,𝕂)$  eine erste Kohomologieklasse in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$ und sei

$\gamma :[0,1]⟶X$

ein stetiger geschlossener Weg. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Auswertung ${\int }_{\gamma }c$ ist wohldefiniert.
2. Die Auswertung ist linear in der Kohomologieklasse.
3. Die Auswertung ist additiv bezüglich der Verknüpfung von Wegen.
4. Wenn man den Weg in umgekehrter Richtung durchläuft, so negiert sich die Auswertung.
5. Die Auswertung hängt nur von der Homotopieklasse des Weges ab.

Beweis

(1) folgt aus Lemma 23.5  (5), alles weitere folgt ebenfalls aus dem Lemma.

$◻$

Lemma

Es sei $X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und  $c\in H^1(X,𝕂)$  eine erste Kohomologieklasse in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$.

Dann ist  $c=0$  genau dann, wenn  ${\int }_{\gamma }c=0$  für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ ist.

Beweis

Die Hinrichtung ist klar. Für die Rückrichtung verwenden wir Lemma 23.2. Es sei $z$ ein repräsentierender Kozykel der Klasse. Aus der Eigenschaft, dass ${\int }_{\gamma }z$ für alle geschlossenen Wege gleich $0$ ist, folgt, dass die Auswertung ${\int }_{\gamma }z$ für jeden Weg nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängt (zwei Wege ergeben einen geschlossenen Weg, indem man den zweiten in umgekehrter Richtung durchläuft). In jede topologische Kette lässt sich ein stetiger Weg hineinlegen derart, dass die Auswertung des Kozykels an der Kette mit der Auswertung des Kozykels am Weg übereinstimmt. Daher hängt die Auswertung längs der Kette auch nur von der Anfangs- und der Endmenge ab.

$◻$

Definition

Es sei $X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit und  $c\in H^1(X,𝕂)$  eine erste Kohomologieklasse der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$. Dann nennt man den Gruppenhomomorphismus

${\pi }_1(X)⟶𝕂,\gamma ⟼{\int }_{\gamma }c,$

die Periodenabbildung zu $c$.

Die Periodenabbildung ist wegen Lemma 23.6  (3) ein Gruppenhomomorphismus. Da $𝕂$ eine kommutative Gruppe ist, wird die Kommutatoruntergruppe der Fundamentalgruppe unter jeder Periodenabbildung auf $0$ abgebildet. Daher faktorisiert die Periodenabbildung durch die erste Homologiegruppe (die man als die Fundamentalgruppe modulo der Kommutatoruntergruppe definieren kann), also

$H_1(X,𝕂)⟶𝕂,[\gamma ]⟼{\int }_{\gamma }c.$

Für die Gesamtzuordnung gilt die folgende Aussage.

Korollar

Es sei $X$ eine zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^1(X,𝕂)⟶\mathrm{Hom}({\pi }_1(X),𝕂),c⟼(\gamma \mapsto {\int }_{\gamma }c),$

von der ersten Kohomologie der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf $X$ mit Werten in $𝕂$ in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${\pi }_1(X)$ nach $𝕂$.

Beweis

Die Homomorphieeigenschaft ist Lemma 23.6  (2), die Injektivität ergibt sich aus Lemma 23.7.

$◻$

Korollar

Es sei $X$ eine einfach zusammenhängende topologische Mannigfaltigkeit.

Dann ist  $H^1(X,𝕂)=0$. 

Beweis

Auf einem einfach zusammenhängenden Raum ist  ${\pi }_1(X)=0$,  daher folgt die Aussage aus Korollar 23.9.

$◻$

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