Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 33

Aufgaben

Aufgabe *

Wir betrachten in der Situation von Beispiel 24.8 die Basis  ${\omega }_1=\frac{dz}{w}$  und  ${\omega }_2=\frac{zdz}{w}$  von $\Gamma (X,{\Omega }_X)$.

1. Bestimme die Periodentupel für die Wege $\gamma ,\theta \circ \gamma ,{\theta }^2\circ \gamma ,{\theta }^3\circ \gamma$ bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme das Periodengitter bezüglich dieser Basis.

Aufgabe *

Zeige, dass eine holomorphe Abbildung $p:X\to Y$ zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$ in natürlicher Weise einen Homomorphismus

$J(X)⟶J(Y)$

zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten induziert.

Aufgabe

Verallgemeinere Satz 27.10 unter Verwendung der dortigen Notation, dass die Zuordnung $\omega \mapsto \sum _{i\in I}{\int }_{{\gamma }_i}\omega$ zum Periodengitter von $X$ gehört.

Aufgabe

Es sei  $X=ℂ/\Gamma$  ein komplexer Torus zu einem Gitter  $\Gamma \subseteq ℂ$.  Setze Korollar 24.5, Korollar 28.9 und Satz 33.9 miteinander in Beziehung.

Aufgabe

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$. Zeige, dass es eine (bis auf die Wahl eines Punktes aus $X$) natürliche surjektive Abbildung

$X^g⟶J(X)$

gibt.