Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 33

Aufgaben

Aufgabe *

Wir betrachten in der Situation von Beispiel 24.8 die Basis ${}\omega _{1}={\frac {dz}{w}}$ und ${}\omega _{2}={\frac {zdz}{w}}$ von ${}\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}$.

1. Bestimme die Periodentupel für die Wege ${}\gamma ,\theta \circ \gamma ,\theta ^{2}\circ \gamma ,\theta ^{3}\circ \gamma$ bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme das Periodengitter bezüglich dieser Basis.

Aufgabe *

Zeige, dass eine holomorphe Abbildung ${}p\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ in natürlicher Weise einen Homomorphismus

$J(X)\longrightarrow J(Y)$

zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten induziert.

Aufgabe

Verallgemeinere Satz 27.10 unter Verwendung der dortigen Notation, dass die Zuordnung ${}\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{\gamma _{i}}\omega$ zum Periodengitter von ${}X$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ ein komplexer Torus zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$. Setze Korollar 24.5, Korollar 28.9 und Satz 33.9 miteinander in Beziehung.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$. Zeige, dass es eine (bis auf die Wahl eines Punktes aus ${}X$) natürliche surjektive Abbildung

$X^{g}\longrightarrow J(X)$

gibt.