Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 5 2 6 2 6 6 5 6 4 4 4 2 8 4 64



Aufgabe (5 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne in .


Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .

a) Schreibe als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ?

c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von in .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)

  1. Finde ein primitives Element in , in und in .
  2. Finde eine ganze Zahl, die in primitiv ist, aber nicht in .
  3. Zeige, dass jede ganze Zahl, die in primitiv ist, auch in primitiv ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei . Berechne den Hauptdivisor zu


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen mit der Eigenschaft, dass das Polynom über in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei quadratfrei und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei eine Primzahl, die in nicht träge (also dort nicht prim) sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen (man darf benutzen, dass der Betrag von mit der Anzahl des Restklassenringes übereinstimmt).

  1. besitzt eine Primfaktorzerlegung in .
  2. ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in .
  3. oder ist die Norm eines Elementes aus .
  4. oder ist die Norm eines Primelementes aus .


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte in die beiden Elemente

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der Normen und (in ) und das von und erzeugte Ideal in .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: In , wobei eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.