Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Generische Faserpunktanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei ${}R\subseteq S$ der zugehörige endliche Ringhomomorphismus, wir arbeiten mit dem Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{S{|}R}$ und wenden Fakt an. Nach Voraussetzung ist die Körpererweiterung

${}Q(D)=Q(R)\subseteq Q(C)=Q(S)\,$

separabel. Daher gilt

${}\Omega _{Q(S){|}Q(R)}=0\,$

nach Fakt. Es ist ${}\Omega _{Q(S){|}Q(R)}$ nach Fakt die Nenneraufnahme von ${}\Omega _{S{|}R}$ an ${}S\setminus \{0\}$ bzw. an ${}R\setminus \{0\}$. Da der Kählermodul nach Fakt endlich erzeugt ist, gibt es auch ein ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, mit

${}{\left(\Omega _{S{|}R}\right)}_{f}=\Omega _{S_{f}{|}R_{f}}=0\,.$

In der abgeschlossenen Teilmenge ${}V(f)$, also außerhalb von ${}D(f)$, liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf ${}D(f)$ beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung ${}R\subseteq S$ ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich ${}0$ ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage