Lineare Abbildung/Körperwechsel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt die ${}L$-lineare Abbildung

$\varphi _{L}\colon V_{L}=L\otimes _{K}V\longrightarrow W_{L}=L\otimes _{K}W,\,b\otimes v\longmapsto b\otimes \varphi (v),$

die durch Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung.

Diese Abbildung ist nicht nur ${}K$-linear, sondern, wie in Fakt  (3) gezeigt wurde, auch ${}L$-linear.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung mit der beschreibenden Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )={\left(a_{ij}\right)}$. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann wird die durch den Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung

$\varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}$

bezüglich der Basen ${}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von ${}V_{L}$ und ${}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von ${}W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix ${}M$, aufgefasst über ${}L$, beschrieben.

Beweis

Wegen Fakt liegen in der Tat Basen vor. Das Basiselement ${}v_{j}$ von ${}V$ wird unter ${}\varphi$ auf

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\,$

abgebildet. Somit wird das Basiselement ${}1\otimes v_{j}$ von ${}V_{L}$ unter ${}\varphi _{L}$ auf

${}\varphi (1\otimes v_{j})=1\otimes \varphi (v_{j})=1\otimes {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}{\left(1\otimes w_{i}\right)}\,.$

Die Koeffizienten ${}a_{ij}$ konstituieren also die beschreibende Matrix von ${}\varphi _{L}$.

$\Box$