Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

1. Die Polarisationsformel besagt

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

   $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$

   seien alle von ${}0$ verschieden für ${}k=1,\ldots ,n$. Es sei ${}q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

   $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

   Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ

   ${}(n-q,q)$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$

   eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

   ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$

   derart, dass das Diagramm

   ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutiert.

Zur gelösten Aufgabe